第04讲 一元二次函数、方程和不等式(讲义)- 2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第04讲 一元二次函数、方程和不等式 1 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 函数、方程、表达式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 2 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 3 一元高次不等式的解法 ① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(或)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数. 4 一元二次不等式的恒成立 不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0()对任意实数x恒成立； (2)不等式ax2＋bx＋c<0()对任意实数x恒成立. 【题型1】 解不含参一元二次不等式 【典题1】 (2024·全国·模拟预测) 已知函数 ，则不等式 的解集为 ． 【巩固练习】 1. (2023·天津武清·模拟预测)设，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.(2024·陕西榆林·二模)定义二阶行列式，则“”是“”的(    ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3.(2022·安徽黄山·二模)若集合，，则等于(       ) A． B． C． D． 【题型2】 解含参一元二次不等式 【典题1】(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8. (1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值； (2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集． 【巩固练习】 1. (2024·全国·模拟预测)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2} C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2} 2.(2024·全国·模拟预测)已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 . 3.(2022•和平区校级二模)已知不等式的解集中恰有五个整数，则实数的取值范围为 　 ． 【题型3】 一元二次函数、方程和不等式的关系 【典题1】 (多选)(2023·枣庄调研)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，则(　　) A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8 C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6 【典题2】 (2024·全国·模拟预测) 已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围是 . 【巩固练习】 1. (2024·全国·模拟预测)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　) A. B. C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1} 2.(2024·全国·模拟预测)一元二次不等式的解为，那么的解集为(    ) A． B． C． D． 3. (2024·全国·模拟预测) (多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　) A.a＜0 B.b＜0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R 4.(2024·江西·模拟预测)已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 5.(2024·广东深圳·模拟预测)(多选)下列说法正确的是(    ) A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 6.(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，