2024年中考数学专项复习讲义——勾股定理

2024年中考数学专项复习讲义——勾股定理 基础知识点 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则 ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2>a2+b2,则 ABC是以∠C为钝角的钝角三角形; 3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a,b,c有下列关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 提升练习 一、单选题 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( ) A.5,11,12 B.6,15,17 C.7,24,25 D.8,40,41 2.如图, ABC中,∠C=90 ,AC=3,BC=4,点P是BC边上的动点,则AP的长不可能是( ) A.3.4 B.4 C.4.5 D.7 3.如图,在 ABC中,AB=8,AC=6,BC边的垂直平分线交AB于E,交BC于点D,若CD=5,则AE的长为( ) A. B.2 C. D.4 4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠DAB,BE平分∠ABC,若AB=6,则AE2+BE2+AB2的值为( ) A.69 B.70 C.71 D.72 5.如图, ABC中,∠C=90 ,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,若AB=10cm,则 DBE的周长等于( ) A.10cm B.8cm C.12cm D.9cm 6.如图,将等边 ABC折叠,使得点C落在AB边上的点D处,EF是折痕,若∠ADE=90 ,AD=1,则AC的长是( ) A.2 B.4 C.2 D.2+ 7.如图,在的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A、B都在格点上,则下列结论错误的是( ) A.的面积为10 B. C. D.点A到直线的距离是2 8.将一个有45 角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 角,如图,则三角板的最大边的长为( ) A.3cm B.6cm C.3 cm D.6cm 二、填空题 9.已知在 中, , ,若该三角形的一中线长为 ,则 的长为 . 10.如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,若AC=3,CE=4,则AD2+BE2= . 11.如图,客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行,货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行,则1小时后两船相距 海里. 12.如图,一个长方体铁盒的长,宽,高分别是8 cm,6 cm,24 cm,-根长28 cm的木棒 完全装进这个盒子里.(填“能”或“不能”) 13.如图,一个圆柱体高20cm,底面半径为5cm,在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃