8.2.2 向量的数量积的定义与运算律-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.2.2 向量的数量积的定义与运算律 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 向量的数量积(又称为：内积) 设与是两个非零向量，它们的夹角为， 定义与的数量积：； 理解： 1、数量积又称为：内积； 2、是向量在向量方向上的数量投影； 是向量在向量方向上的数量投影； 3、简记：；也就是：是实数哦 4、规定零向量与任意向量的数量积为0； 考点二 向量数量积的运算律 向量数量积的运算律 设向量、和，是实数； （1）（交换律）； （2）（结合律）； （3）（分配律）； 理解： 1、向量的数量积不满足消去律；若、、均为非零向量，且，但得不到； 2、，因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线， 因此，在一般情况下不成立． 3、； 考点三 向量数量积的性质与应用 向量数量积的性质及其应用 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 1、； 2、； 3、当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； 4、| (当且仅当向量，共线时，等号成立). 5、向量，的夹角为锐角，得到；反之，不能说明，的夹角为锐角，因为，夹角为0°时也有； 同理，向量，的夹角为钝角，得到；反之，不能说明，的夹角为钝角，因为，夹角为180°时也有；. 6、； 1、已知，，和的夹角是60°，则 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了向量数量积的运算，属基础题. 2、若向量，满足，与的夹角为60°，则·等于 3、已知向量，满足，，则＝________． 4、向量，满足||＝1，|－|＝，与的夹角为60°，则||＝ 【考点】本题考查了向量的模的求法；求向量模的一般思路及常用公式：1、求向量模的常见思路： ；2、)常用公式：①(－)·(＋)＝2－2＝||2－||2； ②|±|2＝(±)2＝2±2·＋2； 5、若、是夹角为的单位向量，且＝2＋e2，＝－3＋2e2，则·＝(　　) A．1 B．－4 C．－ D． 【考点】本题综合考查了向量的线性运算与数量积计算；； 6、已知，方向相同，且||＝2，||＝4，则|2＋3|等于（ ） A．16 B．256 C．8 D．64 【说明】本题考查了向量的数量积运算及其性质；同时，也说明“数形结合”可以简化计算； 7、已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，则 ； 【说明】本题考查了平面向量的数量积运算及向量的数乘运算；. 8、已知||＝||＝2，(＋2)·(－)＝－2，则与的夹角.大小为 【说明】本题考查了利用向量数量积求向量的角； 9、已知，，且与不共线．当向量与相垂直式，则为 10、在△ABC中，·<0，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【说明】本题考查了利用向量数量积求角，判断三角形形状； 11、设⊙C半径为r，若A， B两点都是⊙C上的动点，求的最大值． 12、设两个向量，满足||＝2，||＝1，，的夹角为60°，若向量2t＋7与＋t的夹角为钝角，求实数t的取值范围； ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 8.2.2 向量的数量积的定义与运算律 班级 姓名 在现实世