2024年九年级中考数学复习--共点旋转

共点旋转 前言：所谓共点旋转，是旋转构造的一种，即图形绕着自身某个顶点作旋转，常见为等边三角形共点旋转和正方形共点旋转，有着一般性的条件、结论及推广应用，即可视为模型. 1 正三角形与共点旋转 (1) 模型认识 引例1:如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ.若 PA=6, PB=8, PC=10,则四边形APBQ的面积为 . 解析：连接PQ，可得△APQ是等边三角形， ∵PA=6, PB=8, PC=10, ∴△BPQ是直角三角形, ∴四边形APBQ的面积为( 模型总结 在等边△ABC中，点P是三角形内一点. (1) 若 则∠APB=150°.(两短线段夹角为150°) (2) 若∠APB=150°, 则. 其中,任意将△APB、△BPC、△CPA绕顶点旋转60°,即可得等边三角形和直角三角形. (2) 150°角的应用 此处将 150°角与PA、PB、PC三边关系作为等价地存在，在于150°角作为特殊角自有应用. 引例2:如图, P 为等边三角形 ABC 内的一点, 且P到三个顶点A、B、C的距离分别为3、4、5, 则△ABC的面积为 . 解析: 如图, 由题意可得∠APB=150°,过点 B作 BH⊥AP交AP的延长线于点 H, 解析: 如图, 将△ABP'绕点A逆时针旋转 90°得△BQC,则△P'QC 是直角三角形, ∵P'A:P'C=1:3,∴AP':P'Q=1:2 , ∴P'A:PB=1:2, ∴选B. 猜想探究 若点 P 在正方形外， 则∠APD 的大小是? 结论: ∠APD=45°. 真 题 演 练 1. 如图, 点P在等边△ABC的内部, 且PC=6, PA=8, PB=10, 将线段 PC绕点 C 顺时针旋转 60°得到P'C, 连接AP', 则sin∠PAP'的值为 . 6.如图, 在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°, AB=BC. (1)求∠A+∠C的度数; (2) 连接 BD, 探究 AD、BD、CD 三者之间的数量关系,并说明理由； (3) 若AB=1, 点E在四边形ABCD 内部运动, 且满足 求点E运动路径的长度. 7.【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点 P是正方形ABCD 内一点, PA=1, PB=2, PC=3.你能求出∠APB的度数吗? 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转 90°,得到△BP'A,连接PP', 求出∠APB的度数; 思路二:将△APB 绕点 B顺时针旋转 90°,得到△CP'B,连接PP', 求出∠APB的度数. 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程. 【类比探究】 如图 2, 若点 P 是正方形 ABCD 外一点, PA=3, PB=1, 求∠APB的度数. 学科网（北京）股份有限公司 $$