专题16空间几何体外接球和内切球问题（9知识点+8题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题16：空间几何体的外接球和内切球 （9知识点+8题型） 空间几何体的外接球和内切球 常考题型 内切球的问题 普通棱锥模型 面面垂直模型 矩形模型 对棱相等模型 正棱锥（圆锥）模型 正棱柱或直棱柱(圆柱)和垂面模型 补成长方体（墙角模型） 外接球的概念 题型一：根据外接球定义求体积和表面积 题型二：补成长方体（墙角模型）求外接球的体积和表面积 题型三：直棱柱(圆柱)和垂面模型求外接球的体积和表面积 题型四：正棱锥或正棱台（圆锥或圆台）模型球外接球体积和表面积 题型五：对棱相等模型求外接球体积和表面积 题型六：面面垂直模型求外接球体积和表面积 题型七：几何体的内切球求体积和表面积 题型八：矩形模型和普通棱锥模型 知识点一：外接球的概念 （1）外接球定义：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． （2）简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是 ①确定球心的位置 ②在Rt△用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）． 知识点二：补成长方体（墙角模型） 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．常见构成长方体或正方体方法：同一顶点三条侧棱两两垂直；四个面都是直角三角形的三棱锥；相对棱相等的三菱锥；正四面体；三个侧面两两垂直的三棱锥等等； 知识点三：正棱柱或直棱柱(圆柱)和垂面模型 正棱柱或直棱柱(圆柱)的球心在上下底面外心连线中点处。 推论：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）可补成直三菱柱或长方体。 公式：,（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理 知识点四：正棱锥（圆锥）模型 正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）的球心在其顶点与底面外心连线线段(或延长线）上。 半径公式：（R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理 （一边一对角) 知识点五：对棱相等模型 对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题． 知识点六：矩形模型 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。 题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接 ，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。 知识点七：面面垂直模型 面面垂直模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点八：普通棱锥模型 普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解决． 知识点九：内切球的问题 （1）截面相似 ①三棱锥；如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。 第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 ②四棱锥；如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 （2）等体积法 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 题型一：根据外接球定义求体积和表面积 解题思路：（1）外接球定义：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． （2）简单多面体外接球问