专题06解三角形中面积、角、边和周长的最值问题（5知识点+3题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题6 解三角形中面积、角、边和周长的最值问题（5知识点+3题型）解三角形中面积、角、边和周长的最值问题 常考题型 三角形中的有关角最值问题 三角形中的有关边或者周长最值问题 三角形中的有关面积最值问题 三角形中的最值范围问题处理方法和变换原则 求最值范围问题有关知识点 题型一：解三角形中有关边和周长的取值范围 题型二：解三角形中有关面积的取值范围 题型三：解三角形中有三角值或角的取值范围 知识点一：求最值范围问题有关知识点 （1）正弦定理：（其中为外接圆的半径） 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化. 当关于边，或是角的正弦值具备齐次的特征，则可以直接进行边化角或角化边，否则不行. （2）余弦定理： （3）三角形的面积公式： ①（为三角形的底，为对应的高） ②， ③ ④由正弦定理可得； ⑤海伦公式：，其中 （4）三角形内角和定理： ①正余弦关系式：（其余两角也有相同结论） ②在已知一角的情况下，可用另外一个角表示第三个角，达到消元的目的. （5）两角和与差的正、余弦公式： （6）降幂公式：， （7）辅助角公式：，其中. 知识点二：三角形中的最值范围问题处理方法和变换原则 （1）利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件. （2）转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决.要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边. （3）在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： ①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； ②若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； ③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； ④代数式变形或者三角恒等变换前置； ⑥同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 知识点三：三角形中的有关面积最值问题 （1）根据条件选择合适的公式：①（为三角形的底，为对应的高） ②， ③ ④由正弦定理可得； ⑤海伦公式：，其中 （2） 通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 知识点四：三角形中的有关边或者周长最值问题 （1）通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 （3） 常用的处理方式 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 知识点五：三角形中的有关角最值问题 （1）通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 （2）常用的处理方式 ①利用锐角三角形，，求出角的范围；②利用顿角三角形，，求出角的范围 ②利用余弦定理及基本不等式求角的最值： 题型一：解三角形中有关边和周长的取值范围 解题思路：（1）通过角化边转为边关系，利用基本不等式求最值或者换成有关某边的三角函数关系求最值； 或者边化角转为角关系，通过多角变一角变为三角函数最值问题进行解决或者变为某角的函数关系求解。 （2） 常用的处理方式 ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 例1．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，若为锐角三角形，，则周长的取值范围为 ． 例4．已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，． (1)求角； (2)求的取值范围． 变式训练 5．设锐