9.1随机抽样讲义（7知识点+7题型突破） - 2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“随机抽样”核心知识点，从普查与抽查的概念及适用场景切入，明确总体、个体、样本等基本概念，再系统讲解简单随机抽样的抽签法与随机数法，进而学习用样本均值估计总体均值，最后深入分层随机抽样的概念、样本量计算、平均数计算及方案设计，构建从基础到应用的递进学习支架。 该资料亮点在于题型分类清晰（7大题型覆盖考点），例题贴近生活（如检测灯泡寿命、学生视力调查），注重用数学眼光观察现实问题（区分普查与抽查场景）、用数学思维分析抽样逻辑（分层抽样比例计算）。课中辅助教师高效授课，课后通过A/B/C组分层练习帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

9.1 随机抽样 讲义 【题型一：普查与抽查及简单随机抽样的相关概念和应用】 11 【题型二：抽签法、随机数法及其应用】 12 【题型三：用样本均值估计总体均值】 14 【题型四：分层随机抽样的概念及抽样方法的选择】 17 【题型五：分层随机抽样的样本量计算】 18 【题型六：分层随机抽样的平均数计算】 19 【题型七：分层随机抽样的方案设计】 21 1. 理解全面调查（普查）与抽样调查的概念，能准确区分二者的适用场景、优点与局限性。 2. 掌握总体、个体、样本、样本容量四个核心统计概念，能在实际问题中正确指出研究对象。 3. 理解简单随机抽样的定义、特点与适用条件，明确放回与不放回简单随机抽样的区别。 4. 掌握抽签法和随机数法的操作步骤，能根据总体规模选择合适的简单随机抽样方法。 5. 理解分层随机抽样的概念、适用场景与核心思想，掌握按比例分配分层抽样的计算方法。 6. 理解样本平均数与总体平均数的关系，会用样本均值估计总体均值。 【知识点一：全面调查（普查）与抽样调查（抽查）】 1. 全面调查 ①定义：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 ②总体：调查对象的全体 ③个体：组成总体的每一个调查对象 2. 抽样调查 ①定义：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法 ②样本：从总体中抽取的那部分个体 ③样本容量：样本中包含的个体数，简称样本量 注：样本量是一个具体的数值，千万不能搞错哦！ 3.全面调查与抽样调查的对比 全面调查（普查） 抽样调查（抽查） 优点 取得的数据比较全面 由于调查对象少，所以花费少，效率高，调查耗费的时间短 缺点 耗费巨大的财力、物力 获取的信息不够全面 适用范围 1. 调查对象少； 2. 必须获取全面信息 |1. 不必要普查但又需要大量信息； 2. 实验具有毁损性，无法全面调查 举例 人口普查 1. 检测灯泡寿命等； 2. 调查学校学生的睡眠时间等 【例1】为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中 100 名同学的视力情况，在这个过程中，100 名同学的视力情况（数据）是（） A. 总体 B. 个体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 【例2】判断下列调查是普查还是抽样调查： （1）检测一批烟花的燃放安全效果 （2）调查全班同学每天的作业完成时间 （3）了解一批灯泡的使用寿命 （4）对全校所有班级的卫生情况进行检查 【知识点二：简单随机抽样】 1.简单随机抽样 一般地，设一个总体含有 （ 为正整数）个个体，从中逐个抽取 个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。 放回、不放回简单随机抽样统称简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。 注： ①总体中，逐个不放回地随机抽取 个个体作为样本，和一次性批量随机抽取 个个体作为样本，两种方法是等价的。 ②单随机抽样由于抽取的个体有限，因此实践中便于操作，便于进行相关的计算和分析，并且各个个体被抽到的可能性相等，从而保证了抽样的公平性。 ③放回简单随机抽样比较，不放回简单随机抽样的效率更高，因此实践中更多采用后者，除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样。 【例3】下列不是简单随机抽样特点的是（） A. 总体个体数有限 B. 一次性批量抽取 C. 不放回抽取 D. 每个个体被抽到概率相等 【知识点三：两种常见的简单随机抽样方法】 1. 抽签法 （1）抽签法的操作流程 第一步：对含有 个个体的总体按 进行编号； 第二步：将所有编号写在外观、质地等无差别的卡片或小球等上面，作为号签，并将这些卡片或小球等放在一个不透明的盒里，充分搅拌； 第三步：从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的数量。 （2）抽签法的适用场景 抽签法简单易行，但当总体较大时，操作起来比较麻烦。因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形。 2. 随机数法 （1）随机数法的操作流程 第一步：对含有 个个体的总体按 进行编号； 第二步：用随机数工具产生 范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本； 第三步：重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数。 如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数。 【例4】下列几个案例中，适合用抽签法的是（ ） （1）从 50000 件产品中抽 500 件质检 （2）从 3 箱共 45 件文具中抽 9 件 （3）从 3000 名学生中抽 30 人问卷 【例5】总体编号 1–80，随机数：73，9，52，9，37，61，28，49，求第 5 个个体编号。 【知识点四：样本估计总体】 1. 总体均值与样本均值 ①总体均值（总体平均数）：如果总体的 个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为 ，其中 出现的频数为 ，则总体均值还可以写成加权平均数的形式，即 ②样本均值（样本平均数）：如果从总体中抽取一个容量为 的样本，它们的变量值分别为 ，则称 为样本均值，又称样本平均数。 注： ①在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数 。 ②总体平均数是一个确定的数，样本平均数则因为样本的不同而具有随机性。 ③一般情况下，样本量越大，估计越准确。 ④平均数的性质 ； ； 。 【例6】某果园为了了解今年园区内的果树产量，从园区内的300棵桃树中随机抽取了25棵，经统计平均每棵桃树产桃32kg，估计总产量。 【知识点五：分层随机抽样】 1. 分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层。在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配。 注： ①为什么要采用分层随机抽样的方式？ 在简单随机抽样中，总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较 “极端” 的样本，导致出现估计的误差较大的情况，分层随机抽样可以一定程度上规避这类问题。 例如，要调查某一高中的学生身高，我们知道男生身高普遍高于女生，若直接采用简单随机抽样，可能出现的结果是样本中男生偏多（或女生偏多），从而导致调查后的身高偏高（或偏低），分层随机抽样即在男生和女生两个群体中按比例抽样，可以一定程度上规避因男女生身高差异造成的误差。 ②在比例分配中，有如下两个公式： (i) ； (ii) 。 2. 分层随机抽样的步骤 第一步：根据个体的某一特征对统计指标的影响（如性别、年龄等等），将总体分成互不重叠的层； 第二步：根据总体中的个体数 和样本容量 计算抽样比 ； 第三步：确定第 层应该抽取的个体数为 （ 为总体中第 层所包含的个体数），使得各 之和为 ； 第四步：根据上一步确定出每一层应抽取的个体数 ，在各层中抽取个体，合在一起便得到容量为 的样本。 注： ①分层随机抽样如何分层要根据具体情况来确定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大； ②根据实际情况可对每层所抽取的数目进行适当调整，如计算后层内的样本数不是整数，可以灵活进行取整。 3. 分层随机抽样的特点 ①区别于简单随机抽样，分层抽样可适用于由样本量大，且差异比较明显的几部分组成的总体，便于进行分层； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，设 为样本容量， 为总体容量，则比例为 。 【例7】某学校共有学生名，其中男生名，女生名。数学学科的立体几何部分对学生的空间想象能力要求较高，为了准确了解该校男、女学生在学习立体几何时的空间想象能力是否存在显著差异，研究人员计划从全体学生中抽取名学生进行专项调查，那么本次调查最适宜采用的抽样方法是（） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 按成绩排名分层抽样 D. 按性别分层抽样 【例8】某医院在一天的健康体检活动中，共有名市民参与体检，其中老年人人，中年人人。为了解不同年龄段市民的健康状况，工作人员采用比例分配的分层随机抽样方法，从这人中抽取一个容量为的样本，那么在该样本中，老年人被抽到的人数是（ ） A. B. C. D. 【知识点六：分层随机抽样的平均数计算】 1. 总体平均数和样本平均数的计算 在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为 和 ，抽取的样本量分别为 和 。设第 1 层的总体平均数和样本平均数分别为 和，第 2 层的总体平均数和样本平均数分别为 和 ，则： 总体平均数 样本平均数。 2. 用样本平均数估计总体平均数 由于用第 1 层的样本平均数 可以估计第 1 层的总体平均数，用第 2 层的样本平均数 可以估计第 2 层的总体平均数 ，因此可用 来估计总体平均数。 在比例分配的分层随机抽样中，， 所以 ，， 故 ， 所以在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数。 【例9】某学校有高中学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得到男生样本的均值为 175，女生样本的均值为 165。 (1) 如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值，并估计总体均值； (2) 如果已知男、女的样本量都是 25，请计算总样本的均值，并估计总体均值。 【知识点七：获取数据的途径】 1. 通过调查获取数据 对于有限总体问题，如人口总数、城乡就业状况、农村贫困人口脱贫状况、生态环境改善状况、青少年受教育状况、高中生近视的比例、产品合格率等问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据。 2. 通过试验获取数据 试验是获取样本观测数据的另一种重要途径。例如，要判断研制的新药是否有效、培育的小麦新品种是否具有更高的产量等情况，没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据。 3. 通过观察获取数据 在现实生活中，我们感兴趣的很多自然现象都不能被人类所控制，如地震、降水、大气污染、宇宙射线等，自然现象会随着时间的变化而变化，不能用我们已经学过的有限总体来刻画，也就不能用抽样的方法获取观测数据；另一方面，由于自然现象不能被人为控制，也不能通过试验获取观测数据，研究这类现象，只能通过长久的持续观察获取数据。 4. 通过查询获得数据 随着信息技术的发展，通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式，例如，可以从国家统计局的官方网站查询得到国家统计局公布的各种统计数据。在网络上，也有专门提供数据服务的公司，它们提供政府部门允许公开的各类数据。 【例10】在下列研究项目中，所需要的数据一般通过试验获取的是（ ） A. 调查某品牌电视机在全国市场的占有率 B. 统计某电视连续剧在全国范围内的收视率 C. 统计某校七年级一班的男女同学人数比例 D. 测量某型号炮弹的最大射程与射击精度 【题型一：普查与抽查及简单随机抽样的相关概念和应用】 【例1】为了解某校 2000 名学生的每周课外阅读时间，从中抽取 200 名学生统计，下列说法正确的是（ ） A. 2000 名学生是总体 B. 每名学生的课外阅读时间是个体 C. 样本量为 200 D. 抽取的 200 名学生的阅读时间是样本 【例2】某厂生产 40 个精密零件，用于航天设备，应采用普查还是抽样检查？说明理由。 【例3】（多选）关于简单随机抽样，正确的是（ ） A. 总体个体数必须有限 B. 必须逐个抽取，不能一次性抽取 C. 分放回与不放回两种 D. 每个个体被抽到机会相等 【题型二：抽签法、随机数法及其应用】 【例4】高一年级共有8个班，编号为1–8，教委为了解该校的教学成绩，要从8个班中使用抽签法抽2个班作为样本，每次抽取一个号码，某班第一次被抽到的可能性为，第二次被抽到的可能性为，则（ ） A. B. C. D. 【例5】某校举办晚会，邀请24名同学参加演出，现在要从25名高一、20名高二、15名高三学生中，随机抽取24人（高一10名、高二8名、高三6名），用抽签法确定人选及出场顺序。 【例6】某校三个年级一共有920名学生，请用 0–9 数字球设计随机数法，抽样本量40的样本。 【题型三：用样本均值估计总体均值】 【例7】现在从20个货架中随机抽取了8个货架，其各个货架中货物价值（单位：元）分别为：480，320，550，410，520，490，630，500，试估计这20个货架所有产品的总价值。 【变式1】某企业的一个部门共有28人，各个职位的工资如下： 主管 1 人：8000；组长 2 人：4500；员工 25 人：2200 1. 求平均数 2. 主管涨到 25000，组长涨到 8000，求新平均数 3. 平均数能否反映普通员工水平？ 【例8】数据平均数为 25，则的平均数为？ 【变式1】样本平均数为 25，则的平均数为（ ） A.4 B.5 C．6 D.7 【变式2】在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为： 若去掉一个最高分和一个最低分后的平均分与不去掉的平均分相同，那么最低分的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【题型四：分层随机抽样的概念及抽样方法的选择】 【例9】现有以下两项调查任务： ① 某工厂刚生产出台大型挖掘机，为保障产品质量，需要从中抽取台进行全面质量检测； ② 某校共有名学生，学生血型分布为：O 型血人、A 型血人、B 型血人、AB 型血人，医学研究需要分析血型与色弱之间的关联，需从中抽取容量为的样本。 完成这两项调查，最适宜采用的抽样方法依次是（） A. ①②都采用简单随机抽样 B. ①②都采用分层随机抽样 C. ①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D. ①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【变式】某沙漠地区经过多年生态治理，植被覆盖面积大幅提升，野生动物的数量也随之明显增加。经长期观测发现，该地区某种野生动物的数量与当地植物覆盖面积大致成正比例关系。为精准调查该地区这种野生动物的种群数量，研究人员将整个区域划分成个面积相近的独立地块，计划从中抽取个地块作为样区进行统计。已知各地块之间的植物覆盖面积差异很大，为提高样本代表性，获得更准确的野生动物数量估计值，请你给出合理的抽样方法，并说明理由。 【题型五：分层随机抽样的样本量计算】 【例10】某大型企业就改善员工福利的 A、B、C 三种方案开展问卷调查，有效问卷统计如下：支持 A 方案人，支持 B 方案人，支持 C 方案人，总参与调查人数为人。 (1) 将所有受访者按支持方案分层，用比例分配分层随机抽样抽取人，已知从支持 A 方案的人群中抽取了人，求的值； (2) 从支持 B 方案的人中，按年龄再分层：岁以下人，岁及以上人，用比例分配分层抽样抽取人，求这人中岁及以上的人数。 【变式】某中学选派名学生参加市级广播体操比赛，其中高一人，高二、高三各人。比赛前需抽取人检验训练效果，提供两种方案：简单随机抽样、按比例分配分层随机抽样。学生按高一、高二、高三统一编号为，下列抽到的号码中，不可能是分层抽样结果的是（ ） A. B. C. D. 【题型六：分层随机抽样的平均数计算】 【例 8】已知某总体被划分为个层，通过分层随机抽样得到第层的样本平均数分别为。 (1) 仅依靠现有信息，能否直接估计总体平均数？如果不能，还缺少什么条件？并写出总体平均数的估计式； (2) 若样本量按比例分配，三层总体个体数分别为，三层样本量分别为，证明： 【反思】在分层随机抽样中用样本平均数估计总体平均数时，我们总是先用各层的样本平均数估计该层的总体平均数，再由此估算总体平均数。若各层样本量是按比例分配的，则总体平均数的估计值等于总样本加权平均数。 【例9】某市高三参加全市统一质量调研考试，市内甲、乙、丙三所公办高中的高三参考总人数分别为、、。现按照比例分配的分层随机抽样方式，从三所学校中抽取学生试卷进行成绩统计，计算得到三所学校抽取样本的数学平均成绩分别为分、分、分，则由此可估计这三所学校全体高三学生本次数学考试的总平均成绩约为（） A. B. C. D. 【变式】某县域高级中学共有在校高中生人，其中高一年级学生人，高二年级学生人。学生身高随着年级发育存在明显差异，同学按照高一、高二年级进行分层，采用分层随机抽样调查全校学生的身高（单位：），设定抽取的总样本量为，经统计计算得到：高一样本身高平均数为，高二年级样本身高平均数为。 （1）若本次抽样的样本量严格按照比例分配，求该总样本的平均数，并以此估计全校高中生身高的总体平均数； （2）若本次抽样并未按比例分配，实际抽取高一年级学生人，高二年级学生人，此时计算得到总样本平均数为，请计算，并比较与的大小关系； （3）同学不进行分层，直接采用简单随机抽样从全校名学生中抽取人调查身高，所得样本平均数为。请问能否认为比更接近全校学生真实总体平均身高？请阐述完整理由。 【题型七：分层随机抽样的方案设计】 【例13】某企业共有员工人，人员职称结构为：具有高级职称的员工人，中级职称的员工人，初级职称的员工人，其他岗位人员人。由于不同职称员工的收入水平存在明显差异，企业现要从中抽取人，调查员工的月收入情况，请你设计科学合理的抽样方案，并写出完整的操作步骤。 【反思】在具体的问题中，简单随机抽样、分层抽样一般会结合使用。对总体而言，可能会使用分层抽样，而具体到每一层的抽样，由于个体之间不存在显著差异，可以使用简单随机抽样。 【A 组 夯实基础】 1.（多选）为精准掌握本市高三学生的数学备考水平，市教育局组织了一次全市高三模拟考试，共有92000 余名考生参与。某重点高中共有高三在校生3600 人，学校教务处为客观分析本校学生的数学学习状况，从这 3600 名考生的数学成绩中随机抽取360 份试卷成绩进行统计分析。针对该问题，下列说法中正确的有（） A. 该校 3600 名高三考生是本次调查的总体 B. 该校 3600 名高三考生的数学模拟考试成绩是总体 C. 抽取的 360 份数学试卷成绩是总体的一个样本 D. 本次抽样调查的样本容量为 360 2. 某体育用品公司库存两箱标准比赛用足球，其中甲箱有30个，乙箱有18个。质量检测部门为检验这批足球的弹性、气密性等指标是否合格，计划从两箱足球中一共抽取6个进行检测，具体方案为：从甲箱抽取4个，从乙箱抽取2个。下列关于该抽样的说法中，不正确的是（ ） A. 本次调查的总体是这48个比赛用足球 B. 本次调查抽取的样本是 6 个被检测的足球 C. 本次抽样的样本容量为 6 D. 这批足球中，每个球被抽到的可能性完全相同 3.（多选）在实际生活与生产中，调查方式分为普查（全面调查）和抽样调查两种。下列调查活动中，适合选用抽样调查的有（ ） A. 食品厂对刚生产的 240 箱瓶装果汁进行食品安全质量检测 B. 市政府统计部门了解本市全体灵活就业人员的月平均收入情况 C. 教育局调研全市义务教育阶段学生每天的睡眠时长与睡眠质量 D. 班主任统计本班学生对校园安全知识的掌握合格率 4.（多选）简单随机抽样是统计学中最基础、最常用的抽样方法，下列关于简单随机抽样基本特点的描述，正确的有（ ） A. 被抽样的总体中所包含的个体数量必须是有限的 B. 抽样过程要求从总体中逐个、不放回地抽取个体 C. 简单随机抽样特别适用于总体中个体数量非常庞大的情形 D. 在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会均等，与抽取顺序无关 5. 某次数学单元检测中，学生成绩呈现明显分层：90 分及以上 15 人，60～89 分 36 人，60 分以下 9 人。现需从中抽取 12 人分析试卷难度与答题情况；某商场从 30 张外观、质地完全相同的抽奖券中不放回随机抽取 5 张。针对这两件事，最恰当的抽样方法依次为（） A. 分层抽样，简单随机抽样 B. 简单随机抽样，简单随机抽样 C. 简单随机抽样，分层抽样 D. 分层抽样，分层抽样 6. 我国古代数学问题：今有东乡人数未知，西乡 500 人，南乡 300 人。三乡按比例分层抽样共征兵 60 人，其中东乡征兵 12 人，则东乡共有（ ）人。 A. 200 B. 240 C. 300 D. 360 7（多选）某汽车公司生产 A、B、C 三种型号轿车，年产量分别为 2000 辆、8000 辆、3000 辆。公司质检部门计划抽取 65 辆进行质量检测，下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B. 应采用抽签法抽取 C. 三种型号轿车依次应抽取 10 辆、40 辆、15 辆 D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同 8. 某研究机构采用分层随机抽样，抽取 20 个甲类样本、40 个乙类样本。甲类样本平均数为 6，总样本平均数为 4.5，则乙类样本平均数为 。 9. 某总体由编号为的 120 个个体构成，现采用随机数法从中抽取容量为 60 的样本。利用电子表格生成的 1~120 范围内的随机数开头部分如下： 按照随机数法规则，重复出现的编号只保留第一次出现的结果，其余舍去，依次抽取。则抽取出来的第 6 个有效个体的编号为 。 10. 某高级中学共有960 名高三应届毕业生，学校医务室为掌握学生体质健康状况，需要从中随机抽取80 名学生参加体质健康标准测试。由于总体数量较大，应选用的抽样方法是 ，在该抽样中，每个学生被抽到的可能性为 。 11. 某城市有高中生 25000 人、初中生 12000 人、小学生 13000 人。当地教育部门为了解本市中小学生近视情况及成因，拟抽取 1.5% 的学生进行问卷调查，请设计合理的抽样方案，并说明理由。 12. 某养殖户今年出栏肉鸡共150 只，当前市场毛鸡收购价格为每千克 13 元。为快速估算这批肉鸡的总销售收入，养殖户从中随机挑选6 只肉鸡进行称重，测得质量（单位：千克）依次为：26、31、32、35、37、39。 （1）请明确指出该问题中的总体、个体、样本、样本容量分别是什么； （2）判断该调查方式属于普查还是抽样调查？请说明该调查方式是否合理，并解释理由。 【B 组 强化能力】 13. 已知一组样本数据的平均数为，若对原始数据再做一次线性变换，得到新样本，则这组新样本的平均数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 14. 某校高中三个年级共有 6300 名学生，计划采用分层抽样抽取容量为 60 的样本。若从高一、高二、高三抽取的人数为从小到大排列的连续偶数，则该校高二年级的学生人数为（ ） A. 2100 B. 2000 C. 1800 D. 1500 15. 已知一组数据的平均数为，现将这组数据进行线性变换，得到新数据，，，则变换后这组新数据的平均数为 。 16.我国古代数学著作《数书九章》中有 “验米夹谷” 问题，体现了古代抽样估计思想。现有官府粮仓存粮共4500 石，为检验粮食纯度，随机抽取一把粮食，数得共200 粒，其中含有杂质（谷、沙）30 粒。请用样本估计总体的思想，估计该粮仓中纯粮食约为____石（结果保留整数）。 16. 二战期间，盟军统计学家利用坦克编号估计德军产量，方法如下： 设德军某月生产坦克总数为，缴获坦克编号为（从小到大），最大编号为，则总产量估计公式为： 若某次缴获的坦克编号依次为：5、7、14、20、22，则估计该月德军坦克总产量为 （结果取整数）。 17. 某区现有小学生 12000 人、初中生 11000 人、高中生 5000 人。教育部门采用分层抽样抽取名学生做视力测试，已知初中生抽取人数比高中生多 72 人，则总样本量 。 18. 某篮球生产厂家有40 个成品篮球，分装为两箱，第一箱 26 个，第二箱 14 个。质量检验员需采用抽签法从中抽取 5 个篮球作为样本进行质量检测，请写出完整、规范的抽签操作步骤。 【C 组 拓展提升】 19. 设有两组样本数据，第一组的平均数为，第二组的平均数为，且。将两组样本合并为一组新样本，若合并后样本的平均数满足： ，则（ ） A. 5 B. C. 6 D. 20. 某商场餐饮区设有四类取餐通道：①简餐，平均每份取餐 1 分钟；②套餐，平均每份 0.5 分钟；③现制餐饮，平均每份 6 分钟；④自助机，平均每份 1 分钟。全区共 20 个取餐口，高峰期有 500 名顾客排队等候。随机抽样 120 名顾客统计偏好：简餐 60 人、套餐 36 人、现制 18 人、自助机 6 人。 (1) 若设置 12 个简餐取餐口，假设顾客自动均分排队（每队人数相等），求选择简餐的顾客最长等待时长。 (2) 从等待时长公平性角度，要求每类通道最长等待时长基本相等，请计算四类取餐口的合理设置数量（结果四舍五入取整数）。 21. 已知一组从小到大严格排列的数据：，这组数据的算术平均数为 10。若去掉其中最大的数，则余下数据的平均数为 9；若去掉其中最小的数，则余下数据的平均数为 11。 （1）分别求出关于的表达式和关于的表达式； （2）若均为正整数，试求的最大值，并构造一组满足条件的数据。 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1 随机抽样 讲义 【题型一：普查与抽查及简单随机抽样的相关概念和应用】 11 【题型二：抽签法、随机数法及其应用】 12 【题型三：用样本均值估计总体均值】 14 【题型四：分层随机抽样的概念及抽样方法的选择】 17 【题型五：分层随机抽样的样本量计算】 18 【题型六：分层随机抽样的平均数计算】 19 【题型七：分层随机抽样的方案设计】 21 1. 理解全面调查（普查）与抽样调查的概念，能准确区分二者的适用场景、优点与局限性。 2. 掌握总体、个体、样本、样本容量四个核心统计概念，能在实际问题中正确指出研究对象。 3. 理解简单随机抽样的定义、特点与适用条件，明确放回与不放回简单随机抽样的区别。 4. 掌握抽签法和随机数法的操作步骤，能根据总体规模选择合适的简单随机抽样方法。 5. 理解分层随机抽样的概念、适用场景与核心思想，掌握按比例分配分层抽样的计算方法。 6. 理解样本平均数与总体平均数的关系，会用样本均值估计总体均值。 【知识点一：全面调查（普查）与抽样调查（抽查）】 1. 全面调查 ①定义：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 ②总体：调查对象的全体 ③个体：组成总体的每一个调查对象 2. 抽样调查 ①定义：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法 ②样本：从总体中抽取的那部分个体 ③样本容量：样本中包含的个体数，简称样本量 注：样本量是一个具体的数值，千万不能搞错哦！ 3.全面调查与抽样调查的对比 全面调查（普查） 抽样调查（抽查） 优点 取得的数据比较全面 由于调查对象少，所以花费少，效率高，调查耗费的时间短 缺点 耗费巨大的财力、物力 获取的信息不够全面 适用范围 1. 调查对象少； 2. 必须获取全面信息 |1. 不必要普查但又需要大量信息； 2. 实验具有毁损性，无法全面调查 举例 人口普查 1. 检测灯泡寿命等； 2. 调查学校学生的睡眠时间等 【例1】为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中 100 名同学的视力情况，在这个过程中，100 名同学的视力情况（数据）是（） A. 总体 B. 个体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 【答案】C 【解析】高一年级所有学生的视力数据是总体，抽取的 100 名同学的视力数据是总体的一个样本。 【例2】判断下列调查是普查还是抽样调查： （1）检测一批烟花的燃放安全效果 （2）调查全班同学每天的作业完成时间 （3）了解一批灯泡的使用寿命 （4）对全校所有班级的卫生情况进行检查 【解析】核心判断依据——普查是对总体中所有个体逐一调查，适合范围小、无破坏性、需全面数据的场景；抽样调查是抽取部分个体调查，适合范围大、有破坏性、无需全面数据的场景。 （1）抽样调查：检测烟花燃放安全会消耗烟花（具有破坏性），无法对所有烟花进行检测，因此采用抽样调查。 （2）普查：全班同学人数较少（范围小），且调查作业完成时间无破坏性，能全面获取每个同学的情况，因此采用普查。 （3）抽样调查：检测灯泡使用寿命会让灯泡报废（具有破坏性），不能对所有灯泡检测，因此采用抽样调查。 （4）普查：全校班级数量有限（范围明确），检查卫生情况无破坏性，需全面了解每个班级的卫生状况，因此采用普查。 【知识点二：简单随机抽样】 1.简单随机抽样 一般地，设一个总体含有 （ 为正整数）个个体，从中逐个抽取 个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。 放回、不放回简单随机抽样统称简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。 注： ①总体中，逐个不放回地随机抽取 个个体作为样本，和一次性批量随机抽取 个个体作为样本，两种方法是等价的。 ②单随机抽样由于抽取的个体有限，因此实践中便于操作，便于进行相关的计算和分析，并且各个个体被抽到的可能性相等，从而保证了抽样的公平性。 ③放回简单随机抽样比较，不放回简单随机抽样的效率更高，因此实践中更多采用后者，除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样。 【例3】下列不是简单随机抽样特点的是（） A. 总体个体数有限 B. 一次性批量抽取 C. 不放回抽取 D. 每个个体被抽到概率相等 【答案】B 【解析】本题考查简单随机抽样的核心特点，需牢记简单随机抽样的定义和关键特征，避免混淆“抽取方式”与“特点”。 简单随机抽样的核心特点的： 1. 总体中的个体数必须是有限的（A选项是特点，排除）； 2. 抽取方式：可逐个抽取，也可一次性批量抽取（两种方式等价），但“一次性批量抽取”不是简单随机抽样的“特点”，只是一种抽取方式； 3. 实践中多采用不放回抽取（除非特殊说明），因此“不放回抽取”是其特点（C选项排除）； 4. 等可能性：每个个体被抽到的概率相等，保证抽样公平性（D选项是特点，排除）； 综上，B选项不是简单随机抽样的特点。 【知识点三：两种常见的简单随机抽样方法】 1. 抽签法 （1）抽签法的操作流程 第一步：对含有 个个体的总体按 进行编号； 第二步：将所有编号写在外观、质地等无差别的卡片或小球等上面，作为号签，并将这些卡片或小球等放在一个不透明的盒里，充分搅拌； 第三步：从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的数量。 （2）抽签法的适用场景 抽签法简单易行，但当总体较大时，操作起来比较麻烦。因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形。 2. 随机数法 （1）随机数法的操作流程 第一步：对含有 个个体的总体按 进行编号； 第二步：用随机数工具产生 范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本； 第三步：重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数。 如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数。 【例4】下列几个案例中，适合用抽签法的是（ ） （1）从 50000 件产品中抽 500 件质检 （2）从 3 箱共 45 件文具中抽 9 件 （3）从 3000 名学生中抽 30 人问卷 【答案】2 【解析】本题考查抽签法的适用场景，核心要点——抽签法简单易行，但适合“总体中个体数较少”的情况，因为个体数过多时，制作号签、搅拌均匀等操作会非常麻烦。 （1）第1种情况：50000件产品，总体个体数极多，逐一制作号签、搅拌均匀难度大，不适合用抽签法； （2）第2种情况：共45件文具，总体个体数较少，制作45个号签、搅拌均匀后抽取9件，操作简单，适合用抽签法； （3）第3种情况：3000名学生，总体个体数较多，制作3000个号签繁琐，不适合用抽签法； 综上，只有第2种情况适合用抽签法。 【例5】总体编号 1–80，随机数：73，9，52，9，37，61，28，49，求第 5 个个体编号。 【解析】本题考查随机数法的核心操作——筛选有效随机数（排除重复编号），步骤清晰拆解，避免学生遗漏“去重”步骤。 1. 明确随机数法的筛选规则：抽取的编号需在总体编号范围（1–80）内，且不能重复（同一编号只能被抽中一次）； 2. 逐个筛选随机数，确定有效编号： ① 第一个随机数：73（在1–80范围内，有效，第1个个体编号为73）； ② 第二个随机数：9（在1–80范围内，有效，第2个个体编号为9）； ③ 第三个随机数：52（在1–80范围内，有效，第3个个体编号为52）； ④ 第四个随机数：9（与第二个有效编号重复，无效，丢弃）； ⑤ 第五个随机数：37（在1–80范围内，有效，第4个个体编号为37）； ⑥ 第六个随机数：61（在1–80范围内，有效，第5个个体编号为61）； 综上，选出来的第5个个体的编号是。 【知识点四：样本估计总体】 1. 总体均值与样本均值 ①总体均值（总体平均数）：如果总体的 个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为 ，其中 出现的频数为 ，则总体均值还可以写成加权平均数的形式，即 ②样本均值（样本平均数）：如果从总体中抽取一个容量为 的样本，它们的变量值分别为 ，则称 为样本均值，又称样本平均数。 注： ①在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数 。 ②总体平均数是一个确定的数，样本平均数则因为样本的不同而具有随机性。 ③一般情况下，样本量越大，估计越准确。 ④平均数的性质 ； ； 。 【例6】某果园为了了解今年园区内的果树产量，从园区内的300棵桃树中随机抽取了25棵，经统计平均每棵桃树产桃32kg，估计总产量。 【分析】本题核心考查“用样本均值估计总体均值”的方法，步骤清晰，补充公式和思路说明，让学生理解“为什么可以这样估计”。 【解析】1. 核心思路：简单随机抽样中，样本具有代表性，因此可以用“样本均值”代替“总体均值”，再用总体数量×总体均值，得到总体总量； 2. 已知条件：总体数量（桃树总棵数）=300棵，样本量=25棵，样本均值（25棵桃树的平均产量）=32kg； 3. 计算过程： 先估计总体均值：用样本均值32kg估计所有桃树的平均产量，即每棵桃树平均产桃32kg； 再计算总产量：总产量=总体数量×总体均值=； 综上，该果园的苹果总产量约为9600kg。 【知识点五：分层随机抽样】 1. 分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层。在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配。 注： ①为什么要采用分层随机抽样的方式？ 在简单随机抽样中，总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较 “极端” 的样本，导致出现估计的误差较大的情况，分层随机抽样可以一定程度上规避这类问题。 例如，要调查某一高中的学生身高，我们知道男生身高普遍高于女生，若直接采用简单随机抽样，可能出现的结果是样本中男生偏多（或女生偏多），从而导致调查后的身高偏高（或偏低），分层随机抽样即在男生和女生两个群体中按比例抽样，可以一定程度上规避因男女生身高差异造成的误差。 ②在比例分配中，有如下两个公式： (i) ； (ii) 。 2. 分层随机抽样的步骤 第一步：根据个体的某一特征对统计指标的影响（如性别、年龄等等），将总体分成互不重叠的层； 第二步：根据总体中的个体数 和样本容量 计算抽样比 ； 第三步：确定第 层应该抽取的个体数为 （ 为总体中第 层所包含的个体数），使得各 之和为 ； 第四步：根据上一步确定出每一层应抽取的个体数 ，在各层中抽取个体，合在一起便得到容量为 的样本。 注： ①分层随机抽样如何分层要根据具体情况来确定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大； ②根据实际情况可对每层所抽取的数目进行适当调整，如计算后层内的样本数不是整数，可以灵活进行取整。 3. 分层随机抽样的特点 ①区别于简单随机抽样，分层抽样可适用于由样本量大，且差异比较明显的几部分组成的总体，便于进行分层； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，设 为样本容量， 为总体容量，则比例为 。 【例7】某学校共有学生名，其中男生名，女生名。数学学科的立体几何部分对学生的空间想象能力要求较高，为了准确了解该校男、女学生在学习立体几何时的空间想象能力是否存在显著差异，研究人员计划从全体学生中抽取名学生进行专项调查，那么本次调查最适宜采用的抽样方法是（） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 按成绩排名分层抽样 D. 按性别分层抽样 【答案】D 【解析】本次调查的核心目的是对比男、女学生在空间想象能力上的差异，男生与女生是两个特征差异明显的群体，按性别分层能让样本更贴合总体结构，避免因性别比例失衡导致调查结果偏差。 抽签法、随机数法属于简单随机抽样，无法体现性别差异；按成绩分层与本次调查目标无关。因此选择按性别分层抽样。 【例8】某医院在一天的健康体检活动中，共有名市民参与体检，其中老年人人，中年人人。为了解不同年龄段市民的健康状况，工作人员采用比例分配的分层随机抽样方法，从这人中抽取一个容量为的样本，那么在该样本中，老年人被抽到的人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设老年人被抽到的人数为。根据比例分配分层抽样的核心公式： 代入数据得： 交叉相乘计算：，即，解得。 【知识点六：分层随机抽样的平均数计算】 1. 总体平均数和样本平均数的计算 在分层随机抽样中，如果层数分为 2 层，第 1 层和第 2 层包含的个体数分别为 和 ，抽取的样本量分别为 和 。设第 1 层的总体平均数和样本平均数分别为 和，第 2 层的总体平均数和样本平均数分别为 和 ，则： 总体平均数 样本平均数。 2. 用样本平均数估计总体平均数 由于用第 1 层的样本平均数 可以估计第 1 层的总体平均数，用第 2 层的样本平均数 可以估计第 2 层的总体平均数 ，因此可用 来估计总体平均数。 在比例分配的分层随机抽样中，， 所以 ，， 故 ， 所以在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数。 【例9】某学校有高中学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得到男生样本的均值为 175，女生样本的均值为 165。 (1) 如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值，并估计总体均值； (2) 如果已知男、女的样本量都是 25，请计算总样本的均值，并估计总体均值。 【解析】(1) 设男生、女生抽取的人数分别为 ，则 ，所以 。 不妨设 ，，则总样本的均值为 。 因为样本量是按比例分配的，所以总样本均值即为总体均值的估计值，故总体均值为 171。 (2) 若男生、女生的样本量都是 25，则总样本的均值为 。 用各层的样本均值估计该层的总体均值，所以总体均值为 。 【知识点七：获取数据的途径】 1. 通过调查获取数据 对于有限总体问题，如人口总数、城乡就业状况、农村贫困人口脱贫状况、生态环境改善状况、青少年受教育状况、高中生近视的比例、产品合格率等问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据。 2. 通过试验获取数据 试验是获取样本观测数据的另一种重要途径。例如，要判断研制的新药是否有效、培育的小麦新品种是否具有更高的产量等情况，没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据。 3. 通过观察获取数据 在现实生活中，我们感兴趣的很多自然现象都不能被人类所控制，如地震、降水、大气污染、宇宙射线等，自然现象会随着时间的变化而变化，不能用我们已经学过的有限总体来刻画，也就不能用抽样的方法获取观测数据；另一方面，由于自然现象不能被人为控制，也不能通过试验获取观测数据，研究这类现象，只能通过长久的持续观察获取数据。 4. 通过查询获得数据 随着信息技术的发展，通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式，例如，可以从国家统计局的官方网站查询得到国家统计局公布的各种统计数据。在网络上，也有专门提供数据服务的公司，它们提供政府部门允许公开的各类数据。 【例10】在下列研究项目中，所需要的数据一般通过试验获取的是（） A. 调查某品牌电视机在全国市场的占有率 B. 统计某电视连续剧在全国范围内的收视率 C. 统计某校七年级一班的男女同学人数比例 D. 测量某型号炮弹的最大射程与射击精度 【答案】D 【解析】A、B：适合抽样调查获取数据； C：适合普查获取数据； D：炮弹射程无法通过调查或观察得到，必须通过射击试验获取数据。 【题型一：普查与抽查及简单随机抽样的相关概念和应用】 【例1】为了解某校 2000 名学生的每周课外阅读时间，从中抽取 200 名学生统计，下列说法正确的是（） A. 2000 名学生是总体 B. 每名学生的课外阅读时间是个体 C. 样本量为 200 D. 抽取的 200 名学生的阅读时间是样本 【答案】BCD 【解析】本题核心考查普查与抽样调查中“总体、个体、样本、样本量”的概念，易错点是混淆“调查对象”与“调查内容”。 1. 总体：研究的对象是“学生的每周课外阅读时间”，而非“学生本身”，因此总体是“2000名学生的每周课外阅读时间”，A选项错误； 2. 个体：组成总体的每一个调查对象，即“每名学生的每周课外阅读时间”，B选项正确； 3. 样本量：样本中包含的个体数，本题抽取200名学生的阅读时间，因此样本量为200，C选项正确； 4. 样本：从总体中抽取的那部分个体（的调查内容），即“抽取的200名学生的每周课外阅读时间”，D选项正确。 【例2】某厂生产 40 个精密零件，用于航天设备，应采用普查还是抽样检查？说明理由。 【解析】应采用普查，理由如下（结合普查的适用场景，贴合学生理解）： 1. 从用途来看：航天设备对零件的精度和安全性要求极高，不允许有任何一个零件不合格，必须获取所有零件的质量数据，需全面调查； 2. 从数量来看：共生产40个零件，数量较少，全面检查无需耗费过多的人力、物力和时间，操作可行； 综上，为保证航天设备的安全性，应采用普查。 【例3】（多选）关于简单随机抽样，正确的是（） A. 总体个体数必须有限 B. 必须逐个抽取，不能一次性抽取 C. 分放回与不放回两种 D. 每个个体被抽到机会相等 【答案】ACD 【解析】本题进一步巩固简单随机抽样的概念，重点区分“抽取方式”与“基本要求”，易错点是B选项。 1. A选项正确：简单随机抽样要求总体中的个体数是有限的，若总体个体数无限，无法保证每个个体被抽到的概率相等； 2. B选项错误：简单随机抽样的抽取方式有两种——逐个抽取和一次性批量抽取，两种方式是等价的，并非“必须逐个抽取”； 3. C选项正确：简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，实践中多采用不放回抽样； 4. D选项正确：等可能性是简单随机抽样的核心特征，无论抽取顺序如何，每个个体被抽到的机会都相等，保证抽样公平。 【题型二：抽签法、随机数法及其应用】 【例4】高一年级共有8个班，编号为1–8，教委为了解该校的教学成绩，要从8个班中使用抽签法抽2个班作为样本，每次抽取一个号码，某班第一次被抽到的可能性为，第二次被抽到的可能性为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题易错点是误以为“第二次抽取时个体数减少，概率会变化”，核心是掌握简单随机抽样的“等可能性”——无论抽取顺序如何，每个个体被抽到的概率始终相等。 1. 计算第一次被抽到的概率： 总体有8个班，第一次从8个班中抽取1个，每个班被抽到的概率相等，即； 2. 计算第二次被抽到的概率： 第二次抽取的概率需分两种情况：① 该班第一次已被抽到（概率为），此时第二次无法再被抽到（概率为0）；② 该班第一次未被抽到（概率为），此时剩余7个班，该班被抽到的概率为； 综合两种情况，第二次被抽到的总概率：； 综上，，选B。 【例5】某校举办晚会，邀请24名同学参加演出，现在要从25名高一、20名高二、15名高三学生中，随机抽取24人（高一10名、高二8名、高三6名），用抽签法确定人选及出场顺序。 【解析】（1）确定高一抽取人选：将25名高一学生按1–25依次编号，用相同的纸条制作25个号签（每个号签上写上对应的编号，确保纸条大小、质地、颜色完全一致，避免作弊），将号签放入不透明的盒子中，充分搅拌均匀，然后不放回地逐个抽取10个号签，对应编号的10名高一学生入选； （2）确定高二抽取人选：用与高一相同的方法，将20名高二学生按1–20编号，制作20个号签，搅拌均匀后不放回抽取8个号签，对应编号的8名高二学生入选； （3）确定高三抽取人选：同理，将15名高三学生按1–15编号，制作15个号签，搅拌均匀后不放回抽取6个号签，对应编号的6名高三学生入选； （4）确定表演顺序：将入选的24名学生按1–24统一编号，制作24个号签（写上1–24的数字），放入不透明盒子中搅拌均匀，让每名学生依次不放回地抽取1个号签，号签上的数字即为该学生的表演顺序（抽到数字1的第一个表演，数字2的第二个表演，以此类推）。 【例6】某校三个年级一共有920名学生，请用 0–9 数字球设计随机数法，抽样本量40的样本。 【解析】步骤1，编号：将920名学生按001–920进行编号（因为920是三位数，编号需统一为三位数，不足三位的前面补0，如第5名学生编号为005，避免混淆）； 步骤2，准备随机数工具：将10个完全相同的白色小球分别写上数字0–9，放入一个不透明的箱子中，充分搅拌均匀，确保每个小球被摸到的概率相等； 步骤3，生成随机数：从箱子中有放回地摸出3个小球，依次作为三位数的百位、十位、个位（例如：第一次摸到0，第二次摸到2，第三次摸到5，生成随机数025）； 步骤4，筛选有效编号：判断生成的三位数是否在001–920范围内，若在范围内，则对应编号的学生被抽中；若生成的三位数重复（即同一编号已被抽中）或超出001–920范围（如921、000），则丢弃该随机数，重新摸球生成； 重复操作：重复步骤3和步骤4，直到抽满40名学生，这40名学生即为抽取的样本。 【题型三：用样本均值估计总体均值】 【例7】现在从20个货架中随机抽取了8个货架，其各个货架中货物价值（单位：元）分别为：480，320，550，410，520，490，630，500，试估计这20个货架所有产品的总价值。 【解析】本题分两步计算，先求样本均值，再估计总体总价值，详细展示计算过程，避免学生计算出错，补充易错点提示。 1. 第一步：计算样本均值（8个货架的平均货值） 样本均值公式： 代入数据计算： 先计算分子总和：480+320=800，800+550=1350，1350+410=1760，1760+520=2280，2280+490=2770，2770+630=3400，3400+500=3900； 再计算均值：（元）； 2. 第二步：估计总体总价值 用样本均值487.5元，估计20个货架的平均货值，因此总价值=总体数量×样本均值； ； 【变式1】某企业的一个部门共有28人，各个职位的工资如下： 主管 1 人：8000；组长 2 人：4500；员工 25 人：2200 1. 求平均数 2. 主管涨到 25000，组长涨到 8000，求新平均数 3. 平均数能否反映普通员工水平？ 【解析】本题考查“加权平均数”的计算（因为不同工资的人数不同），分步骤计算，补充公式，结合实际场景分析平均数的局限性，贴合学生理解。 核心公式：加权平均数，其中是不同的数值，是对应数值的频数（个数）。 1. 求原平均数 已知：主管1人（，），组长2人（，），员工25人（，），总人数； 代入公式计算： 分子计算：1×8000=8000，2×4500=9000，25×2200=55000，总和=8000+9000+55000=72000； 平均数：（元，精确到整数）； 2. 求主管、组长涨工资后的新平均数 涨工资后：主管1人（），组长2人（），员工人数和工资不变； 代入公式计算： 分子计算：1×25000=25000，2×8000=16000，25×2200=55000，总和=25000+16000+55000=96000； 新平均数：（元，精确到整数）； 3. 平均数能否反映普通员工水平？ 不能，理由如下： 普通员工有25人，占总人数的大部分（25/28≈89.3%），其工资始终为2200元；而主管和组长属于少数高薪人群，他们的工资上涨后，拉高了整体的平均数，但普通员工的工资没有任何变化，因此平均数无法反映普通员工的实际工资水平。 【例8】数据平均数为 25，则的平均数为？ 【解析】本题考查“平均数的性质”，详细推导公式，既给出简便方法，也展示推导过程，帮助学生理解性质的由来，避免死记硬背。 方法一：利用平均数的性质（简便方法） 已知平均数的性质：若数据的平均数为，则数据（、为常数）的平均数为； 本题中，，，，代入性质得： ； 方法二：推导过程（帮助理解性质） 数据的平均数为： 拆分分子：； 又因为，所以； 代入得：； 综上，的平均数为71。 【变式1】样本平均数为 25，则的平均数为（） A.4 B.5 C．6 D.7 【答案】B 【解析】本题分两步计算，先根据平均数性质求出的平均数，再计算新数据组的平均数，详细拆解，避免学生遗漏新加入的数字。 第一步：求的平均数； 已知样本的平均数为25，根据平均数性质，其中，； 列方程：； 解方程：，得； 第二步：计算的平均数； 首先，求的总和：； 新数据组共有个数字（新增3和5两个数），其总和为：； 新数据组的平均数：（题目选项为整数，四舍五入取5）； 综上，答案选B。 【变式2】在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为： 若去掉一个最高分和一个最低分后的平均分与不去掉的平均分相同，那么最低分的值不可能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】去掉最低分和最高分后，余下数据都是已知的，其平均值容易求出，故先求这一平均值。 去掉一个最低分和一个最高分后，余下分数的平均分为 由题意，不去掉和，平均分仍为分，所以 化简得 要判断的是不可能的值，故考虑建立关于的不等式，求出的范围。题干所给的打分是从低到高排列的，故由此可建立不等式。 因为是从低到高排列的，所以 我们的目标是求的范围，故考虑消去，可由式①来消元。 由①得 ，代入③得 解得： ，此范围内的都满足不等式②， 所以的取值范围是 ，故选。 【题型四：分层随机抽样的概念及抽样方法的选择】 【例9】现有以下两项调查任务： ① 某工厂刚生产出台大型挖掘机，为保障产品质量，需要从中抽取台进行全面质量检测； ② 某校共有名学生，学生血型分布为：O 型血人、A 型血人、B 型血人、AB 型血人，医学研究需要分析血型与色弱之间的关联，需从中抽取容量为的样本。 完成这两项调查，最适宜采用的抽样方法依次是（） A. ①②都采用简单随机抽样 B. ①②都采用分层随机抽样 C. ①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D. ①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C 【解析】①中台挖掘机是同批次生产，个体间无明显差异，适合用简单随机抽样； ②中调查血型与色弱的关系，血型是差异明显的分类特征，必须按血型分层随机抽样才能保证样本有效。 【变式】某沙漠地区经过多年生态治理，植被覆盖面积大幅提升，野生动物的数量也随之明显增加。经长期观测发现，该地区某种野生动物的数量与当地植物覆盖面积大致成正比例关系。为精准调查该地区这种野生动物的种群数量，研究人员将整个区域划分成个面积相近的独立地块，计划从中抽取个地块作为样区进行统计。已知各地块之间的植物覆盖面积差异很大，为提高样本代表性，获得更准确的野生动物数量估计值，请你给出合理的抽样方法，并说明理由。 【解析】应采用按植物覆盖面积分层的比例分配分层随机抽样。 理由：该野生动物数量与植物覆盖面积正相关，各地块植物覆盖面积差异大→各地块野生动物数量差异大。按覆盖面积分层后抽样，能让样本结构与总体结构保持一致，避免极端样本，大幅提升估计结果的准确性。 【题型五：分层随机抽样的样本量计算】 【例10】某大型企业就改善员工福利的 A、B、C 三种方案开展问卷调查，有效问卷统计如下：支持 A 方案人，支持 B 方案人，支持 C 方案人，总参与调查人数为人。 (1) 将所有受访者按支持方案分层，用比例分配分层随机抽样抽取人，已知从支持 A 方案的人群中抽取了人，求的值； (2) 从支持 B 方案的人中，按年龄再分层：岁以下人，岁及以上人，用比例分配分层抽样抽取人，求这人中岁及以上的人数。 【解析】(1) 抽样比相等： 解得：。 (2) 支持 B 方案中岁及以上占比：。 抽取人数：人。 【变式】某中学选派名学生参加市级广播体操比赛，其中高一人，高二、高三各人。比赛前需抽取人检验训练效果，提供两种方案：简单随机抽样、按比例分配分层随机抽样。学生按高一、高二、高三统一编号为，下列抽到的号码中，不可能是分层抽样结果的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】按比例分层： 解得高一抽人，高二、高三各抽人。 A、B、C：高一区间均有个号码，符合； D：高一区间仅个号码，不符合分层人数要求。 【题型六：分层随机抽样的平均数计算】 【例 8】已知某总体被划分为个层，通过分层随机抽样得到第层的样本平均数分别为。 (1) 仅依靠现有信息，能否直接估计总体平均数？如果不能，还缺少什么条件？并写出总体平均数的估计式； (2) 若样本量按比例分配，三层总体个体数分别为，三层样本量分别为，证明： 【解析】(1) 不能直接估计总体平均数。缺少条件：总体中每一层所包含的个体数量。 设三层个体数为，总体平均数估计式： (2) 证明：比例分配分层抽样满足各层抽样比相等： 则，，。 同理： 代入原式左右两边相等，等式得证。 【反思】在分层随机抽样中用样本平均数估计总体平均数时，我们总是先用各层的样本平均数估计该层的总体平均数，再由此估算总体平均数。若各层样本量是按比例分配的，则总体平均数的估计值等于总样本加权平均数。 【例9】某市高三参加全市统一质量调研考试，市内甲、乙、丙三所公办高中的高三参考总人数分别为、、。现按照比例分配的分层随机抽样方式，从三所学校中抽取学生试卷进行成绩统计，计算得到三所学校抽取样本的数学平均成绩分别为分、分、分，则由此可估计这三所学校全体高三学生本次数学考试的总平均成绩约为（） A. B. C. D. 【答案】 【解析】分层随机抽样按比例分配时，总体平均数由各层总体人数加权计算，公式为 其中为各层总体个体数，为各层样本平均数。 已知： 甲校：，；乙校：，；丙校：， 第一步：计算三所学校总人数 第二步：代入加权平均数公式计算 结果四舍五入约为。 【变式】某县域高级中学共有在校高中生人，其中高一年级学生人，高二年级学生人。学生身高随着年级发育存在明显差异，同学按照高一、高二年级进行分层，采用分层随机抽样调查全校学生的身高（单位：），设定抽取的总样本量为，经统计计算得到：高一样本身高平均数为，高二年级样本身高平均数为。 （1）若本次抽样的样本量严格按照比例分配，求该总样本的平均数，并以此估计全校高中生身高的总体平均数； （2）若本次抽样并未按比例分配，实际抽取高一年级学生人，高二年级学生人，此时计算得到总样本平均数为，请计算，并比较与的大小关系； （3）同学不进行分层，直接采用简单随机抽样从全校名学生中抽取人调查身高，所得样本平均数为。请问能否认为比更接近全校学生真实总体平均身高？请阐述完整理由。 【解析】（1）已知全校总人数，高一总体人数，高二总体人数，总样本量。 （2）已知：高一抽取样本量，高二抽取样本量， 高一均值，高二均值。 第一步：计算非比例分配下总样本平均数 第二步：大小比较 因此大小关系： 原理补充：高二年级平均身高更高，第二问中高二年级样本权重更大，拉高了整体加权平均数。 （3）能认为比更接近总体平均身高。 理由：1. 该校高一、高二年级学生身高存在明显的群体差异，总体具备清晰的分层特征； 2. 同学采用按比例分配的分层随机抽样，抽取样本时严格贴合总体内高一、高二的人数占比，完整保留了总体的结构特征，能够有效规避层间差异带来的抽样系统误差，样本代表性更强； 3. 简单随机抽样完全随机抽取个体，无法保证样本内两个年级的人数比例与总体真实比例一致，极易出现某一层样本抽取偏多、偏少的情况，进而产生较大抽样偏差； 综上，在该总体分层差异明显的前提下，比例分层抽样得到的对总体平均数的估计效果更优，更接近全校真实平均身高。 【题型七：分层随机抽样的方案设计】 【例13】某企业共有员工人，人员职称结构为：具有高级职称的员工人，中级职称的员工人，初级职称的员工人，其他岗位人员人。由于不同职称员工的收入水平存在明显差异，企业现要从中抽取人，调查员工的月收入情况，请你设计科学合理的抽样方案，并写出完整的操作步骤。 【解析】因为不同职称员工的收入差异显著，总体由差异明显的几部分组成，因此采用按比例分配的分层随机抽样，每层内用简单随机抽样抽取。 1. 计算每层抽取人数 设高级职称、中级职称、初级职称、其他人员抽取人数分别为，由分层抽样比例相等得： 解得：，，，。 2. 各层抽样操作 高级职称层（人）：将人编号，制作个相同号签，搅匀后不放回抽取个号签，对应编号人员入样； 中级职称层（人）：将人编号，用随机数表法抽取人； 初级职称层（人）：抽签法抽取人； 其他人员层（人）：抽签法抽取人。 3. 合并样本 将各层抽取的人员组合，得到容量为的调查样本。 【反思】在具体的问题中，简单随机抽样、分层抽样一般会结合使用。对总体而言，可能会使用分层抽样，而具体到每一层的抽样，由于个体之间不存在显著差异，可以使用简单随机抽样。 【A 组 夯实基础】 1.（多选）为精准掌握本市高三学生的数学备考水平，市教育局组织了一次全市高三模拟考试，共有92000 余名考生参与。某重点高中共有高三在校生3600 人，学校教务处为客观分析本校学生的数学学习状况，从这 3600 名考生的数学成绩中随机抽取360 份试卷成绩进行统计分析。针对该问题，下列说法中正确的有（） A. 该校 3600 名高三考生是本次调查的总体 B. 该校 3600 名高三考生的数学模拟考试成绩是总体 C. 抽取的 360 份数学试卷成绩是总体的一个样本 D. 本次抽样调查的样本容量为 360 【答案】BCD 【解析】总体：调查对象某项指标的全体。本题调查的是数学成绩，不是学生本身，因此 A 错误，B 正确。 样本：从总体中抽取的一部分个体的指标，即 360 份成绩，C 正确。 样本容量：样本中包含的个体数量，是无单位的数值，本题为 360，D 正确。 2. 某体育用品公司库存两箱标准比赛用足球，其中甲箱有30个，乙箱有18个。质量检测部门为检验这批足球的弹性、气密性等指标是否合格，计划从两箱足球中一共抽取6个进行检测，具体方案为：从甲箱抽取4个，从乙箱抽取2个。下列关于该抽样的说法中，不正确的是（ ） A. 本次调查的总体是这48个比赛用足球 B. 本次调查抽取的样本是 6 个被检测的足球 C. 本次抽样的样本容量为 6 D. 这批足球中，每个球被抽到的可能性完全相同 【答案】D 【解析】选项A，总体：全部调查对象，即 48 个足球，A 正确。 选项B，样本：抽取的 6 个足球，B 正确。 选项C，样本容量：6，C 正确。 选项D，计算被抽概率：甲箱每个球被抽概率：，乙箱每个球被抽概率： 概率不相等，故答案选D。 3.（多选）在实际生活与生产中，调查方式分为普查（全面调查）和抽样调查两种。下列调查活动中，适合选用抽样调查的有（ ） A. 食品厂对刚生产的 240 箱瓶装果汁进行食品安全质量检测 B. 市政府统计部门了解本市全体灵活就业人员的月平均收入情况 C. 教育局调研全市义务教育阶段学生每天的睡眠时长与睡眠质量 D. 班主任统计本班学生对校园安全知识的掌握合格率 【答案】ABC 【解析】 A：食品检测具有破坏性，不能全部开封检测，适合抽样。 B、C：调查范围极广、人数众多，普查成本高、耗时长，适合抽样。 D：班级人数少，要求结果100% 准确，适合普查。 4.（多选）简单随机抽样是统计学中最基础、最常用的抽样方法，下列关于简单随机抽样基本特点的描述，正确的有（ ） A. 被抽样的总体中所包含的个体数量必须是有限的 B. 抽样过程要求从总体中逐个、不放回地抽取个体 C. 简单随机抽样特别适用于总体中个体数量非常庞大的情形 D. 在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会均等，与抽取顺序无关 【答案】ABD 【解析】简单随机抽样四大核心特征： 总体个体数有限； 逐个抽取（不放回）； 等可能抽样； 适用于总体个数较少的场景。 因此 C 错误，A、B、D 均正确。 5. 某次数学单元检测中，学生成绩呈现明显分层：90 分及以上 15 人，60～89 分 36 人，60 分以下 9 人。现需从中抽取 12 人分析试卷难度与答题情况；某商场从 30 张外观、质地完全相同的抽奖券中不放回随机抽取 5 张。针对这两件事，最恰当的抽样方法依次为（ ） A. 分层抽样，简单随机抽样 B. 简单随机抽样，简单随机抽样 C. 简单随机抽样，分层抽样 D. 分层抽样，分层抽样 【答案】A 【解析】第一件事：学生成绩分为差异明显的三组，为保证样本代表性，应使用分层随机抽样。 第二件事：抽奖券无差异、总体数量少，适合简单随机抽样（抽签法）。 6. 我国古代数学问题：今有东乡人数未知，西乡 500 人，南乡 300 人。三乡按比例分层抽样共征兵 60 人，其中东乡征兵 12 人，则东乡共有（ ）人。 A. 200 B. 240 C. 300 D. 360 【答案】A 【解析】设东乡人数为，分层抽样抽样比相等： 交叉相乘： 7（多选）某汽车公司生产 A、B、C 三种型号轿车，年产量分别为 2000 辆、8000 辆、3000 辆。公司质检部门计划抽取 65 辆进行质量检测，下列说法正确的是（ ） A. 应采用分层随机抽样抽取 B. 应采用抽签法抽取 C. 三种型号轿车依次应抽取 10 辆、40 辆、15 辆 D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同 【答案】ACD 【解析】A：三种车型特征差异大，适合分层抽样，正确。 B：总体数量大，抽签法效率低，不适用，错误。 C：总数，抽样比， A：，B：，C：，正确。 D：分层抽样中每个个体被抽到概率相等，正确。 8. 某研究机构采用分层随机抽样，抽取 20 个甲类样本、40 个乙类样本。甲类样本平均数为 6，总样本平均数为 4.5，则乙类样本平均数为 。 【答案】3.75 【解析】设乙类样本平均数为，根据分层抽样总平均数公式： 化简得： 9. 某总体由编号为的 120 个个体构成，现采用随机数法从中抽取容量为 60 的样本。利用电子表格生成的 1~120 范围内的随机数开头部分如下： 按照随机数法规则，重复出现的编号只保留第一次出现的结果，其余舍去，依次抽取。则抽取出来的第 6 个有效个体的编号为 。 【答案】49 【解析】按规则舍去重复编号，依次保留有效编号：因此第 6 个有效编号为。 10. 某高级中学共有960 名高三应届毕业生，学校医务室为掌握学生体质健康状况，需要从中随机抽取80 名学生参加体质健康标准测试。由于总体数量较大，应选用的抽样方法是 ，在该抽样中，每个学生被抽到的可能性为 。 【答案】随机数法； 【解析】总体数量较多，抽签法制签麻烦，选用随机数法。 简单随机抽样中，每个个体被抽概率相等： 11. 某城市有高中生 25000 人、初中生 12000 人、小学生 13000 人。当地教育部门为了解本市中小学生近视情况及成因，拟抽取 1.5% 的学生进行问卷调查，请设计合理的抽样方案，并说明理由。 【解析】抽样方案：采用按比例分配的分层随机抽样 分层：按照学段分为高中、初中、小学三层。 计算抽样比：。 计算每层抽取人数： 高中生：人 初中生：人 小学生：人 每层内用简单随机抽样（抽签法或随机数法）抽取对应人数，合并为总样本。 理由：不同学段学生近视率差异明显，分层抽样能提高样本代表性，使结果更准确。 12. 某养殖户今年出栏肉鸡共150 只，当前市场毛鸡收购价格为每千克 13 元。为快速估算这批肉鸡的总销售收入，养殖户从中随机挑选6 只肉鸡进行称重，测得质量（单位：千克）依次为：26、31、32、35、37、39。 （1）请明确指出该问题中的总体、个体、样本、样本容量分别是什么； （2）判断该调查方式属于普查还是抽样调查？请说明该调查方式是否合理，并解释理由。 【解析】（1）总体：150 只肉鸡的质量 个体：每一只肉鸡的质量 样本：抽取的 6 只肉鸡的质量 样本容量：6 （2）调查方式为抽样调查，合理。 理由： ① 总体数量较多，全面称重耗时费力； ② 抽样调查能以较低成本获得可信赖的估计结果，满足估算需求。 【B 组 强化能力】 13. 已知一组样本数据的平均数为，若对原始数据再做一次线性变换，得到新样本，则这组新样本的平均数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】设原始数据的平均数为。 由，得： 对新数据，平均数为： 14. 某校高中三个年级共有 6300 名学生，计划采用分层抽样抽取容量为 60 的样本。若从高一、高二、高三抽取的人数为从小到大排列的连续偶数，则该校高二年级的学生人数为（ ） A. 2100 B. 2000 C. 1800 D. 1500 【答案】A 【解析】设抽取人数为， 则， 即，解得。 抽取人数依次为：18，20，22，其中高二抽取 20 人。 抽样比， 高二人数：。 15. 已知一组数据的平均数为，现将这组数据进行线性变换，得到新数据，，，则变换后这组新数据的平均数为 。 【答案】 【解析】平均数线性变换公式： 若数据的平均数为，则数据的平均数为： 本题中，，代入得平均数：。 16.我国古代数学著作《数书九章》中有 “验米夹谷” 问题，体现了古代抽样估计思想。现有官府粮仓存粮共4500 石，为检验粮食纯度，随机抽取一把粮食，数得共200 粒，其中含有杂质（谷、沙）30 粒。请用样本估计总体的思想，估计该粮仓中纯粮食约为____石（结果保留整数）。 【答案】3825 【解析】纯粮粒数： 纯粮所占比例： 总纯粮估计值： 16. 二战期间，盟军统计学家利用坦克编号估计德军产量，方法如下： 设德军某月生产坦克总数为，缴获坦克编号为（从小到大），最大编号为，则总产量估计公式为： 若某次缴获的坦克编号依次为：5、7、14、20、22，则估计该月德军坦克总产量为 （结果取整数）。 【答案】26 【解析】由题知：最大编号，样本量，代入公式： 17. 某区现有小学生 12000 人、初中生 11000 人、高中生 5000 人。教育部门采用分层抽样抽取名学生做视力测试，已知初中生抽取人数比高中生多 72 人，则总样本量 。 【答案】336 【解析】设抽样比为，由题意： 总人数：， 总样本量：。 18. 某篮球生产厂家有40 个成品篮球，分装为两箱，第一箱 26 个，第二箱 14 个。质量检验员需采用抽签法从中抽取 5 个篮球作为样本进行质量检测，请写出完整、规范的抽签操作步骤。 【解析】①统一编号：将 40 个篮球统一编号为，编号贴于球身； ②制作号签：将编号写在质地、大小、颜色完全相同的纸条上，揉成均匀号签； ③搅拌均匀：将所有号签放入不透明箱子，充分搅拌，保证随机性； ④不放回抽取：从箱中逐个不放回抽取 5 个号签，记录编号； ⑤确定样本：与号签编号对应的篮球即为抽取的样本。 【C 组 拓展提升】 19. 设有两组样本数据，第一组的平均数为，第二组的平均数为，且。将两组样本合并为一组新样本，若合并后样本的平均数满足： ，则（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】合并样本平均数公式： 与题目对比，得： 两式相除： . 20. 某商场餐饮区设有四类取餐通道：①简餐，平均每份取餐 1 分钟；②套餐，平均每份 0.5 分钟；③现制餐饮，平均每份 6 分钟；④自助机，平均每份 1 分钟。全区共 20 个取餐口，高峰期有 500 名顾客排队等候。随机抽样 120 名顾客统计偏好：简餐 60 人、套餐 36 人、现制 18 人、自助机 6 人。 (1) 若设置 12 个简餐取餐口，假设顾客自动均分排队（每队人数相等），求选择简餐的顾客最长等待时长。 (2) 从等待时长公平性角度，要求每类通道最长等待时长基本相等，请计算四类取餐口的合理设置数量（结果四舍五入取整数）。 【解析】(1)简餐顾客占比：， 高峰期简餐人数：人， 每队人数：人， 最长等待时长：分钟。 (2)要使等待时长相等，需满足： 人数比：， 计算权重：简餐，套餐，现制，自助机， 按权重分配 20 个窗口，得： 简餐 10 个、套餐 7 个、现制 2 个、自助机 1 个。 21. 已知一组从小到大严格排列的数据：，这组数据的算术平均数为 10。若去掉其中最大的数，则余下数据的平均数为 9；若去掉其中最小的数，则余下数据的平均数为 11。 （1）分别求出关于的表达式和关于的表达式； （2）若均为正整数，试求的最大值，并构造一组满足条件的数据。 【答案】 （1）， （2）最大值为；示例数据： 【解析】（1）由平均数定义，数据总和为： ① 去掉最大数，余下个数平均数为 9： ② 去掉最小数，余下个数平均数为 11： （2）因为是正整数，所以： 代入，得： 即最大值为 19。 取，则，，中间 8 个数均取 10，满足所有条件。 学科网（北京）股份有限公司 $