数学建模 建立统计模型进行预测 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

建立统计模型进行预测 册 别:选择性必修第三册 学 科:高中数学(人教A版) 背景 背景 PM2.5是指一种悬浮于大气中的直径小于等于2.5 m的细颗粒物。颗粒物的成分很复杂,主要取决于其来源,主要有自然源和人为源两种。其浓度的高低直接影响空气质量和气候环境,过高浓度甚至危害人类健康。近年来,由PM2.5引起的空气污染受到了各级政府、部门及社会各界的关注。 问题:影响PM2.5浓度的因素有哪些? 因素 分 析 汽车尾气 风速 风速较大时,可以降低PM2.5浓度;反之,PM2.5容易积聚。 湿度 湿度高有利于水汽凝结,形成云雾和降水,从而降低PM2.5浓度;削弱部分太阳辐射,影响气温。 气温 近地面气温较高时,大气对流作用加剧,可以降低PM2.5浓度;反之,大气出现逆温层时,PM2.5不易扩散。 背景 汽车尾气排放量增加,会使PM2.5浓度提升。 背景 为了定量研究PM2.5是否收到汽车流量、气候状况等因素的影响。我们选择了24个社会经济发展水平相近的城市,在每个城市选择一个交通点建立监测点,统计每个监测点24h内过往的汽车流量(单位:千辆),同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段的平均气温(单位: )、风速(单位:m/s)、空气湿度(绝对湿度,单位:g/m3)以及空气中PM2.5的平均浓度(单位: g/m3),得到的数据如下表所示。 背景 城市编号 汽车流量 平均气温 空气湿度 风速 PM2.5浓度 城市编号 汽车流量 平均气温 空气湿度 风速 PM2.5浓度 1 1.3 20 80 0.45 66 13 0.948 22.5 69 2 35 2 1.444 23 57 0.5 76 14 1.44 21.5 79 2.4 58 3 0.786 26.5 64 1.5 21 15 1.084 28.5 59 3 29 4 1.652 23 84 0.4 170 16 1.844 26 73 1 140 5 1.756 29.5 72 0.9 156 17 1.116 35 92 2.8 43 6 1.754 30 76 0.8 120 18 1.656 20 83 1.45 69 7 1.2 22.5 69 1.8 72 19 1.536 23 57 1.5 87 8 1.5 21.8 77 0.6 120 20 0.96 24.8 67 1.5 45 9 1.2 27 58 1.7 100 21 1.784 23.3 83 0.9 222 10 1.476 27 65 0.65 129 22 1.496 27 65 0.65 145 11 1.82 22 83 0.4 135 23 1.06 26 58 1.83 34 12 1.436 28 68 2 99 24 1.436 28 68 2 105 提出问题 影响PM2.5浓度的因素很多,原因也比较复杂。本课先考虑PM2.5浓度与汽车流量的关系。 我们可以以汽车流量为自变量,PM2.5浓度为因变量,采用回归分析的方法进行研究。 提出问题 (1)浓度与汽车流量之间是否存在线性相关关系?如何来推断? (2)如果浓度与汽车流量之间存在线性相关关系,如何建立线性回归方程来刻画这种关系? (3)所建立的线性回归方程是否有效?它的可靠性如何?用什么方法来判断? (4)如何利用建立的数学模型帮助决策,以达成研究的目标? 回归结果分析 建立回归模型 绘制散点图 模型的应用 绘制散点图 建立线性回归方程 一元线性回归模型 根据样本数据,利用最小二乘法对模型参数a,b进行估计,得到经验回归模型 . 建立线性回归方程 回归结果分析 (1)回归系数估计 由 ,说明PM2.5浓度随着汽车流量的增加而增加,汽车流量每增加100辆,空气中的PM2.5浓度平均可能增加13.86 g/m3. 回归结果分析 (1)回归系数估计 汽车流量对应的 t 值(t value)是检验回归系数 b 是否为0的指标. 由 和 可知, 汽车流量是影响PM2.5浓度的一个显著性因素. 回归结果分析 (2)线性关系显著性检验 F 统计量(F-statistic)是检验两变量相关关系显著性的指标. p值 ,表明PM2.5浓度与汽车流量的线性关系是显著的. 可以认为PM2.5浓度与汽车流量之间的回归方程具有统计学意义. 回归结果分析 (3)决定系数和调整的决定系数 R2数值的大小反映了自变量对回归的贡献,也就是在因变量的总变异中回归关系所能解释的百分比. 决定系数也反映了回归模型的拟合效果. 调整的决定系数 ,说明PM2.5浓度总变异的65.76%与汽车流量有关. 模型的应用 我国规定空气中PM2.5浓度的安全标准为24h平均浓度75 g/m3. 当汽车流量为1300辆,即x=1.3时, ,说明PM2.5浓度在安全标准附近;