2025届高三数学一轮复习夯实练66：求曲线轨迹方程的方法

一轮复习夯实练66　求曲线轨迹方程的方法 基础练 1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是(　　) A.双曲线的右支 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 2.已知点A(-2,-1),B(2,1),若动点P满足直线PA与直线PB的斜率之积为,则动点P的轨迹方程为(　　) A.=1,x≠±2 B.=1,x≠± C.-y2=1,x≠±2 D.y2-=1,x≠±2 3.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是(　　) A.=1(x≠0) B.=1(x≠0) C.=1(x≠0) D.=1 4.(多选题)(2024·湖南浏阳模拟)已知点A(-1,0),B(1,0),直线AP,BP相交于点P,直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,则下列说法正确的是(　　) A.当k1·k2=-2时,点P的轨迹为除去A,B两点的椭圆 B.当k1·k2=2时,点P的轨迹为除去A,B两点的双曲线 C.当k1-k2=2时,点P的轨迹为抛物线 D.当=2时,点P的轨迹为一条直线 5.两条直线x-my-1=0和mx+y-1=0的交点的轨迹方程是　　　　　　　　.  6.已知点P为椭圆=1上的任意一点,O为坐标原点,点M满足,则点M的轨迹方程为　　　　　　.  7.椭圆+y2=1上有动点P,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的重心M的轨迹方程为　　　　　　　　.  8.动圆M过点A(2,0),且与圆C:x2+y2+4x+3=0外切,则动圆圆心M的轨迹方程是　　　　　　　　.  提升练 9.(2024·江苏南通模拟)已知圆C的方程为x2+y2=16,直线l为圆C的切线,记A(-2,0),B(2,0)两点到直线l的距离分别为d1,d2,动点P满足|PA|=d1,|PB|=d2,则动点P的轨迹方程为(　　) A.x2+y2=4 B.=1 C.=1 D.y2=4x 10.(多选题)(2024·湖南邵阳模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点P为定圆O上的动点,点A为圆O所在平面上的定点且不与点O重合,线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q,则点Q的轨迹可能是(　　) A.一个点 B.直线 C.椭圆 D.双曲线 11.已知MN是椭圆=1(a>b>0)中垂直于长轴的动弦,A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,则直线AM和NB的交点P的轨迹方程为　　　　　　　　.  创新练 12.(2024·浙江绍兴模拟)蒙日是法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现椭圆或双曲线上两条相互垂直的切线的交点P的轨迹为圆,该圆称为蒙日圆,如图所示.则双曲线C:=1的蒙日圆的面积为(　　) A.4π B.5π C.9π D.13π 参考答案 1.D　解析 依题意得|F1F2|=10.当a=3时,2a=6<|F1F2|,且|PF1|-|PF2|=6>0,所以点P的轨迹为双曲线的右支; 当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线. 2.C　解析 设P(x,y)(x≠±2),因为直线PA与直线PB的斜率之积为,所以,整理得-y2=1(x≠±2). 3.B　解析 ∵△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),∴|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12.∵12>8,∴点A到两个定点的距离之和等于定值,∴点A的轨迹是椭圆.∵a=6,c=4,∴b2=20,∴椭圆的方程是=1(x≠0). 4.AB　解析 设P(x,y),x≠±1.A选项,k1·k2=-2,故=-2,变形为x2+=1,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的椭圆,A正确;B选项,k1·k2=2,故=2,变形为x2-=1,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的双曲线,B正确;C选项,k1-k2=2,故=2,变形为y=1-x2,且x≠±1,故点P的轨迹为除去A,B两点的抛物线,C错误;D选项,=2,即=2,变形为x=-3,且y≠0,故点P的轨迹为除去点(-3,0)的直线,D错误.故选AB. 5.x2+y2-x-y=0　解析 两直线的方程分别变形为x-1=my,1-y=mx,即x2-x=mxy,y-y2=mxy,故x2-x=y-y2,也就是x2+y2-x-y=0. 6=1　解析 设点M(x,y),由,得点P(2x,2y),而点P为椭圆=1上的任意一点,于是得=1,整理得=1,所以点M的轨迹方程是=1. 7.x2+=1(y≠0)　解析 设点P(x1,y1),点M(x,y).椭圆的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).∵△PF1F2存在,∴y1≠0.由三角形的重心坐标公式有 ∵y1≠0,∴y≠0.∵点P在椭圆上, =1,+(3y)2=1(y