2024年中考数学复习--旋转的性质与手拉手模型中考真题练习

旋转的性质与手拉手模型 前言：相比平移、对称，旋转无疑是三大变换中最难的一个，一方面在于图形构造较为复杂，另一方面旋转本身的故事就很多. 本节从性质开始，介绍旋转经典模型之一：手拉手模型. 1 对应边相等 旋转：如图，将△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE. 结论: AB=AD, AC=AE, BC=DE. 引例1:如图,在△ABC中, AB=2, BC=3.6,∠B=60°, 将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△ADE, 当点 B的对应点D恰好落在 BC边上时，则 CD的长为 ( ) A. 1.6 B. 1.8 C. 2 D. 2.6 解析: 由题意得: △ABC≌△ADE, ∴AB=AD, 又∠B=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∴BD=AB=2, 又BC=3.6, ∴CD=1.6. ∴选A. 2 对应角相等 结论: ∠B=∠D, ∠C=∠E, ∠BAC=∠DAE. 引例2:如图, 在△ABC中,∠CAB=55°,∠ABC=25°, 在同一平面内, 将△ABC绕A 点逆时针旋转70°得到△ADE, 连接 EC, 则tan∠DEC 的值是 . 解析: 由题意得: ∠EAC=70°, ∴∠AEC=∠ACE=55°, 又∠EAD=∠CAB=55°, ∴∠CAD=15°, ∵∠ACE+∠CAD=∠ADE+∠DEC, ∴∠DEC=45°, ∴tan∠DEC=1. 3. 旋转角相等 结论: ∠BAD=∠CAE=∠BFD. (尤其关注 BC与 DE 夹角) 证明: 由题意得: ∠BAD=∠CAE, ∵∠BAD+∠B=∠BFD+∠D,且∠B=∠D, ∴∠BAD=∠BFD. 引例3:如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形, ∠BAC=∠DAE=90°. (1)如图1, 连接BE、CD, BE的延长线交AC于点 F, 交CD于点P, 求证: BP⊥CD; (2)如图2, 把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时, 连接BE、CD, CD的延长线交BE于点P,若BC=6 , AD=3, 求△PDE的面积. 解析:(1)如下左图, △AEB≌△ADC, ∴∠ABE=∠ACD,如下右图, 由“8字”模型可得: ∠FPC=∠FAB=90°. (2)由(1)可知∠BPC=90°, ∵AD=3, AC=6, ∴CD=3 , ∵∠BPC=∠ADC=90°, ∴△CAD∽△CPE, 可得： ∴△PDE的面积为 4 手拉手模型 条件: 如图, OA=OB, OC=OD(四线共点, 两两相等),∠AOB=∠COD(夹角相等) 结论: △OAC≌△OBD(SAS) 引例4:如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论: ①BE=DG;②BE⊥DG;③DE²+BG²=2a²+2b²,其中正确结论是 (填序号) 解析：由手拉手模型可得①②正确，下分析③： 连接BD、EG, 记 BE、DG交点为H点, ∴正确的结论有①②③. 5 模型拓展 手拉手模型中的相似： 已知△ABC≌△ADE外, 则△ABD和△ACE 均为等腰三角形，且有 一般地, 若△ABC∽△ADE, 则△ABD∽△ACE. 引例5:如图,在矩形ABCD中, 将∠ABC绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB'、CC'.若AD=7,CG=4, AB'=B'G,则 (结果保留根号). 解析: 连接 AC、AC', 则 连接AG,设. , 则B'G=x, DG=x-4, 代入得： 解得： (舍), 6 模型构造 所谓构造手拉手模型，实则构造旋转，结合已知条件，添加辅助线构造旋转型全等，得角或线段间的数量关系. 引例6:如图,在等边三角形ABC中, 点E是边 AC上一定点，点 D 是直线 BC上一动点，以 DE为一边作等边三角形DEF, 连接CF. 【问题解决】 如图1, 若点D在边 BC上, 求证: CE+CF=CD; 【类比探究】 如图2, 若点 D在边 BC的延长线上, 请探究线段 CE、CF与 CD之间存在怎样的数量关系? 并说明理由. 解析:(1)如图,过点E作EG∥AB交BC于点G,则△CEG是等边三角形， 可得: △EGD≌△ECF, ∴DG=CF, CG=CE,∴CD=CG+GD=CE+DF,即 CE+CF=CD. (2) 如图, 过点E作EG∥AB交BC于点G,则△CEG是等边三角形， 可得: △EGD≌△ECF, ∴DG=CF, CG=CE,∴CD=DG-CG=CF-CE, 即CD=CF-CE. 真 题 演 练