2024年贵州省贵阳市九年级中考数学二轮中考题型研究 题型十一 建立函数模型解决实际问题

2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型十一 建立函数模型解决实际问题 典例精讲 例　甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m. (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； 【思维教练】根据已知得到A、B两点的坐标，设出顶点式，代入即可求解． 例题图 (2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)； 【思维教练】根据题干条件得到工人到点O的距离为1 m，计算出当x＝1时y的值，将该数值与工人的身高进行比较，即可判断工人的头顶是否会触碰到桥拱． (3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围． 【思维教练】先画出函数图象，结合二次函数的增减性，找到平移的最大距离及最小距离，即可确定m的取值范围． 例题图③ 针对演练 1. 2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15) 时间x(分钟) 0 1 2 3 4 5 人数y(人) 0 170 320 450 560 650 时间x(分钟) 6 7 8 9 9～15 人数y(人) 720 770 800 810 810 (1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式； (2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ (3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？ 2．为进一步缓解城市交通压力，贵阳推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x＝1时的y值表示8：00点时的存量，x＝2时的y值表示9：00点时的存量，…，以此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系. 时段 x 还车数 借车数 存量y 7：00～8：00 1 7 5 15 8：00～9：00 2 8 7 n … … … … … 根据所给图表信息，解决下列问题： (1)m＝________，解释m的实际意义：__________________________________________； 第2题图 (2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式； (3)已知10：00～11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数． 参考答案 典例精讲 例　解：(1)由题意得，水面宽OA是8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m， 结合函数图象可知，顶点B(4，4)，点O(0，0)， 设二次函数的表达式为y＝a(x－4)2＋4， 将O(0，0)代入函数表达式， 解得a＝－， ∴二次函数的表达式为y＝－(x－4)2＋4， 即y＝－x2＋2x(0≤x≤8)；(3分) (2)工人不会碰到头．理由如下： ∵小船距O点0.4 m，小船宽1.2 m，工人直立在小船中间， 由题意得，工人距点O的距离为0.4＋×1.2＝1， ∴将x＝1代入y＝－x2＋2x， 解得y＝＝1.75； ∵1.75 m＞1.68 m， ∴此时工人不会碰到头；(7分) (3)∵抛物线y＝－x2＋2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称，如解图①，新函数图象的对称轴也是直线x＝4， 此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小， 将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如解图②， ∵平移不改变图形形状和大小， ∴平称后函数图象的对称轴是直线x＝4＋m， ∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小， ∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是： ①m≤8