1.5数学归纳法（教学设计）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

第一章 数列 5数学归纳法 教学设计 1、 课时教学内容 数学归纳法的概念，会用数学归纳法解决证明问题，体会数学归纳法的思想 2、 课时教学目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 3、 教学重点、难点 1. 教学重点： (1) 了解数学归纳法的基本思想和原理； (2) 掌握数学归纳法的基本步骤； (3) 能应用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题。 2. 教学难点： （1）通过游戏模型和生活实例，了解数学归纳法的基本思想； （2）学握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用。 环节一创设情境，引入课题 在数列的学习过程中,我们得到过一些公式: 等差数列的通项公式； 等差数列的求和公式; 等比数列的通项公式; 等比数列的求和公式,且. 这些都是与正整数有关的命题. 对于与正整数有关的命题,怎样证明它们对每一个正整数都正确呢? 环节二观察分析，感知概念 数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是: (1)证明:当取第一个值(是一个确定的正整数,如或2等)时,命题成立; （2）假设当时命题成立,证明当时,命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数都成立. 环节三抽象概括，形成概念 数学归纳法为什么能保证命题对所有的正整数都成立? 下面以时的情况加以说明.根据(1),证明了当时命题成立;根据(2)可知,当时命题成立.由于时命题成立,再根据(2)可知,当时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当时命题也成立.即命题对任意正整数都成立. 例1用数学归纳法证明:首项为,公差为的等差数列的前项和公式为 证明：当n=1时,左边,右边,等式成立. （2）假设当时,等式成立,即成立. 那么,当时, 这就是说,当时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任意正整数都成立. 例2已知数列满足,试猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明. 解：由和,得 归纳上述结果,可得猜想. 下面用数学归纳法证明这个猜想. (1)当时,左边,右边,等式成立. （2）假设当时,等式成立,即成立. 那么,当时, 这就是说,当时等式也成立. 根据(1)和(2),可知猜想对于任意正整数都成立. 环节四辨析理解，深化概念 我们可以通过例2体会归纳和数学归纳法的区别.在数学上,在归纳出结论后,还需给出严格证明. 在学习和使用数学归纳法时,需要特别注意: (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题; （2）在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可. 环节五概念应用，巩固内化 例3用数学归纳法证明:(其中). 证明(1)当时,左边,右边,命题成立. （2）假设当时,命题成立,即. 那么,当时,因为,所以. 根据假设知,,所以 $ 因为,所以 从而 这表明,当时命题也成立. 根据(1)和(2),该命题对于任意正整数都成立. 环节六归纳总结,反思提升 问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)数学归纳法的概念． (2)数学归纳法的步骤． 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1.（归纳奠基)证明当n取第一个值(是一个确定的正整数,如或2等)时,命题成立; 2.（归纳递推）假设当时命题成立,证明当时,命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从开始的所有正整数n都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法. 2．方法归纳：归纳—猜想—证明． 3．常见误区： (1)对题意理解不到位导致n0的取值出错； (2)推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设． (1) 数学知识：数学归纳法——将无限递推转化为有限步验证，实现由量变到质变的飞跃； (2) 数学方法：数学归纳法——两个步骤一个结论； (3) 数学思想：归纳思想、递推思想、类比思想。 4.数学归纳法的核心思想 数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。 【师生活动】教师引导学生再次阅读章引言,共同画一个思维导图,其中包括本章的主要内容和主要的思想方法. 环节七 目标检测，作业布置 完成教材：教科书练习第39页第1题. 练习（第39页） 1.用数学归纳法证明:能被整除. *习题1-5 1.用数学归纳法证明:. 2.平面内有条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数. 3.用数学归纳法证明:. 复习题一（第41页） A组 1.在数列中, 试写出这个数列的前5项. 2.