1.4数列在日常经济生活中的应用（教学设计）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

第一章数列 4数列在日常经济生活中的应用 教学设计 1、 课时教学内容 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，在科学技术和日常生活中有着广泛的应用． 银行存款是老百姓日常生活中最基本的经济活动，银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型．教材共安排了三个模型，教学时教师可自己动手、因地制宜地收集、编制、改造数学应用或建模问题，以更适合学生的使用，并根据所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略． 2、 课时教学目标 1．通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题，体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用． 2．通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差数列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用． 3．通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而激发学习的积极性，提高数学学习的兴趣和信心． 3、 教学重点、难点 教学重点：建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解决实际问题． 教学难点：在实际问题情境中，发现并建立以上三个模型． 4、 教学过程设计 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如,存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关. ①银行存款中的单利计息是怎样计算利息的？ ②银行存款中的复利计息是怎样计算利息的？ 以银行存款为例,它是老百姓日常生活中最基本的经济活动.银行存款计息方式有两种:单利和复利,它们分别以等差数列和等比数列为数学模型.下面分别举例说明.说明 单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为 利息=本金利率存期 以符号代表本金,代表存期,代表利率,代表本金与利息和(以下简称本利和),则有 复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？ 提示　单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列． 例1零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取(现在有一年、三年、五年3种,年利率分别为,).规定每次存入的钱不计复利. (1)若每月存入金额为元,月利率保持不变,存期为个月,试推导出到期整取时本利和的公式; （2）若每月初存入500元,到第3年整取时的本利和是多少?（精确到0.01元) （3）若每月初存入一定金额,希望到1年后整取时取得本利和2000元,则每月初应存入的金额是多少?（精确到0.01元) 活动：这实际上就是教育储蓄本利和的数学模型．这里的“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获得的利息组成一个等差数列． 解（1）根据题意,第1个月存入的金额为元,到期利息为元;第2个月存入的金额为元,到期利息为……第个月存入的金额为元,到期利息为元.不难看出,这是一个等差数列求和的问题. 各月利息之和为 而本金为元,这样就得到本利和公式 即① （2）根据题意知,,代入①式,本利和为 （3）根据题意知,,代入①式,得 所以每月初应存入165.46元. 点评：通过本例的数学建模，学生应了解和经历解决实际问题的全过程，即实际情境→提出问题→数学模型→数学结果→检验→问题结果．体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，并学会通过查询资料等手段获取信息. 归纳总结 零存整取模型: 利息按单利计算,等差数列的求和问题. 定期自动转存模型: 利息按复利计算，等比数列的求和问题. 例2定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务,假定无利率变化调整因素(1),我们来讨论以下问题: (1)如果储户存入定期为1年的元存款,定期年利率为,连存年后,再取出本利和.试求出储户年后所得本利和的公式; （2）如果存入1万元定期存款,存期1年,年利率为,那么5年后共得本利和多少元?（精确到0.01元） 活动：教师引导学生阅读实际问题，理解这种定期自动转存储蓄中，第二年的本金是第一年的本利和．这种储蓄的计息方式是按复利计息，是等比数列的模型，这是解决本例的关键．事实上，在将实际问题转化为数列问题时，特别应分清是等差数列还是等比数列． 解：(1)记年后得到的本利和为.根据题意知: 第1年存入的本金