6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.3平面向量基本定理及坐标表示 第六章 平面向量及其应用 课时3 平面向量数乘运算的坐标表示 探究一:向量数乘运算的坐标表示 问题1:根据向量坐标表示的定义,已知向量,向量? ,你能推导出 ? ? 的坐标吗? 情境设置 【解析】在平面直角坐标系中,设与轴、轴正方向相同的两个单位向量分别为 , ,取 作为一组正交分解的基底,则向量 可以分解为 ,所以 . 2 新知生成 知识点一 向量数乘运算的坐标表示 向量数乘运算的坐标表示 (1)符号表示:已知 ? =(? ,? ) ,则 ? ? =? (? ,? )=(? ? ,? ? ). (2)文字描述:实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 注意:点的坐标与向量坐标的区别和联系 1.区别:向量中间用等号连接,而点中间没有等号.点的坐标表示点A在平面直角坐标系中的位置,的坐标既表示向量的大小,也表示向量的方向. 2.联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 3 一、平面向量数乘运算的坐标表示 例题1 已知向量则 A. (1,−2) B. (1,2) C. (5,6) D. (2,0) 【解析】 A 4 反思感悟 方法总结 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标 运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 5 新知运用 跟踪训练1 已知? =(−1,2),? =(2,1),求: (1)2? +3? ;(2)? −3? ;(3)��−? . 【解析】(. ( (3) , , , 6 探究二:平面向量共线的坐标表示 设向量,,根据共线向量定理,当与共线时,存在 唯一实数,使. 情境设置 问题:根据根据向量数乘运算的坐标表示,你能发现? 与? 的坐标之间的关系吗? 【解析】因为向量与共线的充要条件是存在实数 ,使 ,用坐标表示为 ,即 整理得 . 思考:已知 ,如何判断三点之间的关系? 7 新知生成 知识点二 平面向量共线的坐标表示 设, ,其中. (1) , 共线的充要条件是存在实数 ,使 . (2)如果用坐标表示,向量 , 共线的充要条件是. 简记:纵横交错积相减. 8 二、向量共线的判断 例题2 下列各组向量中,共线的是( ). A. ? =(−2,3),? =(4,6) B. ? =(2,3),? =(3,2) C. ? =(1,−2),? =(7,14) D. ? =(−3,2),? =(6,−4) 【解析】 A选项, , 与 不共线; B选项, , 与 不共线; C选项, , 与 不共线; D选项, , 与 共线. D 9 反思感悟 方法总结 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断,特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时,要注意坐标之间的搭配. 10 新知运用 跟踪训练2 下列各组向量中,能作为平面内所有向量基底的是( ). A. , B. , C. , D. , , 【解析】A选项, , , 不可以作为基底;B选项, , 与 不共线,故可以作为基底;C选项, , ,故不可以作为基底;D选项, , ,不可以作为基底. B 11 三、利用向量共线的坐标表示求参数 例题3 (1)已知向量,,若 ,则 _. (2)已知点 ,线段 的中点 的坐标为 .若向量 与向量 共线,则 _. 【解析】(1)由题意知, ,所以 . (2)点 ,线段 的中点 的坐标为 , 所以向量 , 又因为 与向量 共线,所以 ,解得 . 12 反思感悟 方法总结 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理 ? =? ? (? ≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式直接求解. 提醒:当两向量中存在零向量时,无法利用坐标表示求值. 13 新知运用 跟踪训练3 计算下列各值: (1)已知非零向量 与向量 平行,求实数的值. (2) 已知,,且相异三点 ,共线,求实数值. 【解析】 (1) 非零向量 与向量 平行,所以 ,且 , . (2) , , 由题意可知, ,所以 ,解得 ( 舍去). 14 探究三:线段分点的坐标 问题1:设点 , 的坐标分别是,,如何求线段 的中点的坐标? 情境设置 问题2:设 的坐标分别是,,是线段的一个三等分点,则点 的坐标是什么? 问题3: 当时,点的坐标是什么? 15 新知生成 知识点二 线段分点的坐标 1.设不重合的两点分别为 , ,当时,点 的坐标是 , . 2.若 , (1)当 时,点 在线段上; (2)当 时,点 与点 重合; (3)当 时,点 在线段 的延长线上; (4)当 时,点 在线段 的反向延长线上. 16 四、线段分点的