专题一 微专题6　恒成立问题与能成立问题 讲义——2024届高三数学二轮专题复习

微专题6 恒成立问题与能成立问题 [考情分析] 恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的 热门题型,难度大,一般为高考题中的压轴题 "思维导图 导数的运算法则 [写扫写 构造函数转化为函数的最值问题 利用导数判断函数的单调性 常见 必备 分离参数进而转化为a>f(x)或a<f(x)..的形式 知识 题型 函数的极值或最值 (恒成立问题) 基本不等式一 分离参数进而转化为af(x),或a<f(x)-的形式 (能成立问题 分离参数法 忽略函数的定义域 分类讨论法 常见 必备 ,函数最值的求法不正确 直接法 解法 误区 一分类讨论不全面 求最值法 -参数取值范围端点的取舍不正确 典型例题 【典例1】 (2023全国甲卷)已知函数f(x)=ax一sinxcos3x,xE\a\vs4\allco1(0f(n2)) (1)当a一8时,讨论/x)的单调性; (2)若fx)sin2x,求a的取值范围 【典例2】 设函数fx)=alnx+1-a2x2-bx(a1),曲线y=fx)在点(1,f1)处的切线斜率为 0. (1)求: (2)若存在x。1,使得/fx)aa-1,求a的取值范围 [总结提升] 1. 由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略. (1)求最值法,将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题 (2)分离参数法.将参数分离出来,进而转化为a>fx或afx.的形式,通过导数的应用 求出/)的最值,即得参数的范围. 2. 不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化, 要理解清楚两类问题的差别 (1)含参数的不等式能成立(存在性)问题的转化方法 若afx)在xED上能成立,则afx) 若afx)在xED上能成立,则afx)m (2)不等式能成立问题的解题关键点 函数去考虑,所构造的新函数的性质便于研究 会求值 会利用导数、基本不等式等,求函数的最值 借用函数的导数,判断函数的单调性,活用图 会思形 象,可快速得出参数所满足的方程,从而求出 参数的值 热点突破 1. 已知函数/fx)-(1一x)e-1 (1)求)的极值; (2)设gx)=(x-f+avs4\allco1(lnx-f(mt),存在xER,xE(0,+),使方程fx 一gx)成立,求实数m的最小值 2. 记f'(x),g’(t)分别为函数f(x),g(x)的导函数,若存在x。ER,满足f(xo)=g(xo)且f(xo) 一g'(xo),则称x。为函数fx)与g(x)的一个“S点”. (1)证明:函数fx)-x与gq)-x2+2x-2不存在“s点”; (2)若函数f(x)一ax2-1与gx)=lnx存在“S点”,求实数a的值 (③)已知函数fx)=-x2+a,g(x)=bexx.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数fx)与gx 在区间(0,+)内存在“s点”,并说明理由. 3. (2023常德模拟)设函数f(x)-e,g(x)-m2+x+1(mER). (1)求证:fx)x+1: (2)若当xe[0,+~)时,fx)g(x)恒成立,求m的取值范围. 微专题6 恒成立问题与能成立问题 [考情分析] 恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的 热门题型,难度大,一般为高考题中的压轴题 "思维导图 导数的运算法则一 回卸扫回 构造函数转化为函数的最值问题 利用导数判断函数的单调性 常见 必备 分离参数进而转化为af(x)..或a<f(x).的形式 知识 题型 函数的极值或最值 (恒成立问题) 基本不等式一 分离参数进而转化为af(x).或a<f(x)...的形式 (能成立问题 分离参数法 忽略函数的定义域 分类讨论法 常见 必备 函数最值的求法不正确 解法 直接法 误区 一分类讨论不全面 求最值法一 参数取值范围端点的取舍不正确 典型例题 考点一。 利用导数研究恒成立问题 【典例1】(2023全国甲卷)已知函数fx)=ax-sinxcos3x,xE\a\ys4lallco1(0.f(nt2)) (1)当a一8时,讨论fx)的单调性; (2)若fx)sinx,求a的取值范围. 解 ff (x)=a-cos xcos3x+3sin xcos2xsin xcos6x -a-cos2x+3sin2xcos4x --3-2cos2xcos4x. 令cos2-t,则tE(0.1). 则f (t)=g(t)=a-3-2tt2=at2+2t-3t2,rE(0.1). ($1)当a=8时,f(t)=g=8t2+2t-3t2=□2t-1□4t+3□t2. 当E\a\vs4alco1(0.f(12),即xEavs4al'eolCf(nx2)时,f (x)< 当三)avs4\allco1Of(12).1),即xE\a\vs4\allco1(0.f