专题一 微专题10　同构函数问题 讲义——2024届高三数学二轮专题复习

微专题10 同构函数问题 [考情分析] 从最近几年的高考可以看出.新高考注重数学素养的考查,尤其是创新思维.这 种问题在高考题中频繁出现.,用同构法解题,除了要有同构法的思想意识外.对观察能力和 代数式的变形能力的要求也是比较高的. 有时候在高考试题、模拟试题、压轴题中只要大胆 尝试.把握其中的规律,解决这类问题堪称秒杀!难度一般较大 :思维导图: 指数函数 器函数 积型:aeasblnb 常见 必备 #型: 对数函数 知识 E图回 题型 函数的单调性 -和差型:e“士a>b+lnb 同构法 指对转化不恰当 数形结合 必备 常见 解法 误区 同构函数不恰当 函数与方程 观察式子结构不全面 化归与转化 典型例题 [典例1](1)若2a+loga-4+2log.b 则 ) A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a<b2 (2)若0<x<x<1.则( A. e*-e*>lnx-lnx B. e*-e*<lnx2-lnx1 C. xe>xe D. xe*<xe 【典例2】(2022:全国甲卷)已知函数fx)三exx-Inx士x-a (1)若fx)二0. 求a的取值范围: (2)证明:若fx)有两个零点x:x2.则xx<1 【典例3】(2023·深圳模拟)已知丽数fx)=(x-1)ex-12ax②.aER.g(x)=ln(x-1)+x十 1. 其中e为自然对数的底数 (1)讨论fx)的单调性: (2)当a=0时.证明:对Vx>1.都有fx)二g(x)恒成立 [总结提升] 在解决指数函数与对数函数的混合不等式恒成立求参数范围或证明指对不等式时,使用同构 法会达到意想不到的效果 如何构造同构函数呢?一般情况下含ex和lnx的函数,主要是统一化为左边或化为右边构 造同构式.同构式需要构造这样一个母函数,这个函数既能满足指数与对数互化,又能满足 单调性和最值易求等特点,因此常见的同构形式大多为V三xnx.V三xex.或其同族函数.经 过同构变形,再结合复合函数的单调性,可以快速解决证明不等式、恒成立求参数的取值范 围等问题. 热点突破 1. 若2x-2V<3-x-3-y则 -_ A. ln(-x+1)>0 B. In(y-x+1)<o C. Inx->o D. lnlx-y<o 2. 已知函数f(x)一ex21+lnx.则不等式fx)>ex的解集为( A.(0,1) B.lalvs4lallcol(\f(1e). 1) C.(1.e) D.(1.十) 3. 已知函数fx)=x+ln(x-1).g(x)=xlnx.若fx)=1+2lnt.g(x)=t.则(xix- x)-lnt的最小值为( A.1e2 B.2e C. -12e D. -1e 4.(多选)(2023·荷泽模拟)已知x.x分别是函数fx)=ex-1x和g(x)=lnx-1x的零点 则 ) A. 0<x<12 B. Inx1+Inx-0 C. e*Inx2=1 D.136<x1+x<52 5.(2023·杭州模拟)已知a. bE(2,+co).且满足1a2-1b2>lnba.则a. b. ab的大 小关系是__---. 6. 已知对任意给定的b>0. 存在a>b使lna=mem(m>0)成立,则实数m的取值范围 7. (2023·日照统考)已知函数fx)三x-alnx. (1)讨论fx)的单调性: (2)若x>0.x2>0.e+lnx→x+x.证明:e+x>2. 8.(2023·河泽模拟)已知函数f(x)=(ex-1-1)lnx. (1)求fx)在x=1处的切线方程: (2)求fx)的单调区间 (3)当xE(1.+xo)时.fx)>k(x一1)2恒成立.求k的取值范围 微专题10 同构函数问题 [考情分析]从最近几年的高考可以看出,新高考注重数学素养的考查,尤其是创新思维:这 种问题在高考题中频繁出现,用同构法解题,除了要有同构法的思想意识外,对观察能力和 代数式的变形能力的要求也是比较高的.有时候在高考试题、模拟试题、压轴题中只要大胆 尝试,把握其中的规律,解决这类问题堪称秒杀!难度一般较大 "思维导图. 指数函数 幕函数 积型:aeasblnb 常见 必备 型:5# 对数函数 知识 题型 函数的单调性一 -和差型:c{+a>b+lnb 同构法 指对转化不恰当 数形结合 必备 常见 同构函数不恰当 解法 函数与方程 误区 观察式子结构不全面 化归与转化 典型例题 考点一 同构函数比较大小 【典例1】(1)若2a+log>a=4b+2log4b.则( _ A. a>2b B. a<2b C. a>b D. a<b 答案 B 解析 由指数和对数的运算性质可得 $a+loaa=4+2loqb=22b+loq b$$ 命fx)=2x+log2x 则fx)在(0. +c)上单