专题一微专题11 切线放缩讲义-2024届高三数学二轮专题复习

2024-04-07

| 15页

| 1615人阅读

| 30人下载

普通

微专题11　切线放缩

[考情分析]　切线放缩思想一直是导数中重要的思想之一，某些求函数的最小值或证明不等式的问题，巧用切线放缩，会有意想不到的效果．一般试题难度较大．

$C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\学生用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\1-11A.TIF$

$C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\学生用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\典型例题新A.TIF$

$C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\学生用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\左括.TIF$ 典例1 $C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\学生用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\右括.TIF$ 　已知函数f(x)＝ln x－xex＋ax(a∈R)．

(1)若f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若a＝1，求f(x)的最大值．

________________________________________________________________________

$C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\学生用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\左括.TIF$ 典例2 $C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\学生用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\右括.TIF$ 　已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明：f(x)>0.

________________________________________________________________________

[总结提升]

当要证明的不等式中既含有ex，又含有ln x时，一般我们形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧．常用的切线放缩有：

学科网（北京）股份有限公司

(1)ex≥x＋1；(2)ex≥ex；(3)1－≤ln x≤x－1；(4)ln x≤.

$C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\学生用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\1-45.TIF$

在证明不等式的过程中，可通过上述常见的切线放缩，将ex或ln x放缩掉，再来证明不等式，这是指对共生式一种可以考虑的方向．

注意：解题中若要用不等式ex≥x＋1，ex≥ex,1－≤ln x≤x－1等进行放缩，需要先给出证明．

$C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\学生用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\热点突破新.TIF$

1．(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝ex－1－a(x＋1)(x≥1)，g(x)＝(x－1)ln x，其中e为自然对数的底数．

(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若a取(1)中的最大值，证明：f(x)≥g(x)．

________________________________________________________________________

2．已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.

(1)求函数f′(x)在区间[0,1]上的零点个数；(其中f′(x)为f(x)的导数)

(2)若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

________________________________________________________________________

3．设函数f(x)＝aex－xln x，其中a∈R.

(1)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围；

________________________________________________________________________

学科网（北京）股份有限公司

________________________________________________________________________

(2)若a≥，证明：f(x)>0.

________________________________________________________________________

微专题11　切线放缩

$C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\教师用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\1-11A.TIF$

$C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\教师用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\典型例题新A.TIF$

考点一　利用切线放缩求最值

$C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\教师用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\左括.TIF$ 典例1 $C:\Users\Administrator\Desktop\2024版步步高考前三个月数学新高考（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）\教师用书Word版文档\专题练　聚焦重难考点　练透热点题型\右括.TIF$ 　已知函数f(x)＝ln x－xex＋ax(a∈R)．

(1)若f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若a＝1，求f(x)的最大值．

解　(1)由题意，f′(x)＝－(x＋1)ex＋a≤0在[1，＋∞)上恒成立，

学科网（北京）股份有限公司