专题一 微专题12　隐零点问题讲义——2024届高三数学二轮专题复习

微专题12隐零点问题 [考情分析]隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在函数、不等式与 导数的综合题目中常会過到隐零点问趣，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡， 再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解.一般难度较大. ■思维导图· 函数零点存在定理 必备 常见 不等式证明中的“隐零点”问题 函数的图象与性质 知识 题型 函数范围中的“隐零点”问题 利用导数判断函数的单调性 分离参数 隐零点 与三角函数有关的“隐苓点”问题 变更主元 必备 题 构建的函数不恰当 常见 解法 误区 主元变更不恰当 整体代换 分类讨论不全面 分离函数 典型例题 【典例1】(2023式汉模拟)已知函数x)=nxx+ax+2的图象在点(1,1)》处的切线方程为 y-3=0 (1)判断函数fx)的单调性 (2)证明：当x>0时，x)≤e2 【典例2】(2023·兰州模拟)已知函数x)=x+2ax-(a-2)nx(a∈R),gx)=(b-1x一2x-xc (I)判断函数x)的单调性： (2)当a=1时，关于x的不等式x)十gx)≤一1恒成立，求实数b的取值范围. 【典例3引(2023东北师大附中模拟)已知x)=122-x十asin x. (I)若在x=π处的切线的斜率是π一2，求当1≤x)在[0，+∞)恒成立时的的取值范围： (2)设gx)=x)-122+2x-lnr+1),当x∈(0，元)时gx)有唯一零点，求a的取值范围. [总结提升] 隐零点的处理思路： 第一步：用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，其中难点是道过合理赋值，捕捉零 点存在的区问，有时还需结合函数单调性明确零点的个数： 第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数 与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次 热点突破 1.(2023广州模拟)设函数)=xc十a(1一e)+1. (I)求函数fx)的单调区间； (2)若函数fx)在(0，+∞)上有零点，证明：a心2 2.(2023湖南师范大学附中模拟)已知函数x)=1+alvs4小a小co1ln×-f(1+lnx)k≠0). (I)若x)存在最大值，证明：M什>1： x+M-1 2)在(1)的条件下，设函数g)=xe一x,求g)的最小值（用含M,k的代数式表示）. 3.(2023黄冈模拟)己知函数x)=xc-asin x一x (1)求当a=0时，求函数fx)的最值； (2)若gx)=fx)十x在区间a\vs4al小co1(0,f(π2)内存在极值点xo. ①求a的取值范围， ②证明g(在区间(0，π)内存在唯一零点，且2 微专题12 隐零点问题 [考情分析]隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在函数、不等式与 导数的综合题目中常会遇到隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡， 再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解，一般难度较大。 ■思维导图 函数零点存在定理 必备 不等式证明中的“隐零点”问题 常见 函数的图象与性质 知识 题型 函数范围中的“隐零点”问题 利用导数判断函数的单调性 墨点 与三角函数有关的“隐零点”问题 分离参数 题 构建的函数不恰当 变更主元 必备 常见 整体代换 解法 误区 主元变更不恰当 分类讨论不全面 分离函数 典型例题 考点一不等式证明中的“隐零点”问题 【典例1】(2023武汉模拟)已知函数x)=lnXx十ax十2的图象在点(1,1)》处的切线方程为 y-3=0 (1)判新函数x)的单调性 (2)证明：当x>0时，x)≤e2 (1)解因为fx)=1-nxx2-ax2,所以f(1)=1-a=0,解得a=1, 所以fx)=-lnxx2 函数f的定义域为(0，十∞).令f(x)0,得0<1：令x)<0,得”1 所以函数x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，十∞). (2)证明要证fx)≤e2,即证lnXx+1x+2≤e2,只需证(e2-2)-lhx-1≥0 令gx)=xe2-2)-nx-1,其中x>0, 则g'(x)=(2x+1)e2-1+2x=(2x+1)八alvs4小al八co1(e2x-f(1x) 令w)=e2x-1xx>0),则h'(x)=2e+1x2>0, 所以)在(O,十∞)上单调递增. 因为八alvs4a小co10f(14)=e-4<0,八alvs4alco10f12)=e-20, 所以存在o∈alvs4 alco1Of(112),使hx)=e2-1x0=0,可得2xo=-lnxo: 当x∈(0，o)时，(x)0,即g'(x0,则g)在(0，xa)上单调递减： 当x∈(，十∞)时，hx0,即g’(c)>0,则gx)在(，十∞)上单调递增. 所以gx)m=gr。=xa