专题一 微专题13　极值点偏移问题 讲义——2024届高三数学二轮专题复习

微专题13 极值点偏移问题 [考情分析] 极值点偏移问题属于双变量问题之一,在历年的高考试题中频频出现,往往为 压轴试题,难度较大. "思维导图 -+x2x型 函数的零点 #()0型 必备 函数的单调性 常见 回 知识 题型 函数的图象一 -加强命题刑 一非标准极值点偏移问题 对称化构造 齐次化构造 常见 必备 构造函数不恰当 利用对数平均不等式 误区 解法 比值换元不恰当 变更结论 证明函数单调性所在的区间不恰当 加强命题一 典型例题 【典例1】已知函数/x)-x2a-2lnx(aER且a-0). (1)讨论函数x)的单调性; (②)若函数f)有两个零点x1,x(x<),且a=e,证明:x+x>2e 【典例2】(2021-新高考全国I)已知函数/(x)=x(1-lnx). (1)讨论/)的单调性 (2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb-a-b,证明:2~1a+1be [总结提升] 1. 对结论x+x2x。型,构造函数F(x)一f)-f(2x。一x;对结论xxx20型,构造函数F ()一fx)一favs4alcol(fxolal(2x),通过研究F(x)的单调性获得不等式:对结论xxx20 型,两边取对数,转化成lnx+lnx>2lnx,再把lnx,lnx2看成两变量即可 2. 比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t一x1x2化为单变量的函数 不等式,利用函数单调性证明. 热点突破 1. (2023酒泉模拟)已知函数/x)一xlnx+122-x (1)求曲线y一/在点(1,f1)处的切线方程; (2)若f(xo)=00f(x)为/(x)的导函数),方程/(x)=m有两个不相等的实数根x,x2,求证: x+x22xo 2.(2023马鞍山模拟)设函数/fx)=ln(x-1)-kx-2□x (1)若fx)0对x[2,+o)恒成立,求实数k的取值范围; (2)已知方程ln□x-1□x-1=13e有两个不同的根x,x,求证:x+x>6e+2,其中e= 2.71828...为自然对数的底数 3. (2023宁波模拟)已知函数/f(x)-lnx-axr② (1)讨论函数/fx)的单调性; (2)若x,x是方程/fx)-0的两个不相等的实根,求证: ①x21+x222e: ②xx>e2a) 微专题13 极值点偏移问题 [考情分析] 极值点偏移问题属于双变量问题之一,在历年的高考试题中频频出现,往往为 压轴试题,难度较大。 :思维导图 _x+xc2x.型 函数的零点 ()_0型 必备 函数的单调性 常见 回 知识 题型 加强命题型 函数的图象 非标准极值点偏移问题 对称化构造 齐次化构造 常见 必备 构造函数不恰当 利用对数平均不等式 解法 误区 比值换元不恰当 变更结论 证明函数单调性所在的区间不恰当 加强命题一 典型例题 考点一 标准极值点偏移问题 【典例1】已知函数/x)一x2a-2nx(aER且a0). (1)讨论函数fx)的单调性: (2)若函数/x)有两个零点x,x(x ),且a=e2,证明:x+x→2e (1解f)的定义域为(0,十o), r()-2xa-2x 当a~0时,f(x)0恒成立, 所以fx)在(0,+)上单调递减 当0时,f(x)=2xa-2x=2ax(x+a)(x-a). 当0<a时,f(x)<0,fx)在(0,a)上单调递减 当a时,f(x)0,ffx)在(a,+oo)上单调递增 (2)证明 当a-e2时,fx)-x2e2-2lnx 由(1知,/x)在(0,e)上单调递减 在(e,十o)上单调递增. 由题意可得,xE(0,e),x三(e,十). 由f2e)-2-2ln2>0及fx)-0, 得xE(e.2e),则2e-xE(0,e). 欲证x+x>2e,只要证明x>2e一x,注意到/(x)在(0,e)上单调递减,且/fx)-0,只要证明 /(2e一)0即可. 由fx)-2e2-2lnx-0得x22-2e2lnx 所以f(2e-x)=□2e-x2□2e2-2ln(2e-x)-2e2-2ln(2e-x -4e2-4ex2+ 2e2lnx2e2-2ln(2e-x2) =4-4x2e+2lnx-2ln(2e-x),xE(e.2e). 令g(t)=4-4te+2ln t-2ln(2e-,tE(e.2e) 则g'(t)=-4e+2t+22e-t-4e-t□2et□2e-t□-0 则g(t在(e.2e)上单调递增, '.g(g(e)-0. 即f(2e-x)0. 综上,十x2e 跟踪训练1(2023宜春模拟)已知函数fx)=(x-1)lnx-x2+ax(aER). (1)若函数y一f”(t)有两个零点,求a的取值范围; (②)设x×,x是函数/f的两个极值点,证明:x+x22 (1)解 由/x)