4.3.1空间中直线与直线的位置关系课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1课时　平行直线 第4章　立体几何初步 高中数学湘教版必修第二册 4.3直线与直线、直线与平面的位置关系 4.3.1 空间中直线与直线的位置关系 课标阐释 1.了解空间直线的位置关系.(直观想象) 2.理解并掌握关于平行直线的基本事实并会应用其解决相关直线与直线平行问题.(数学抽象、逻辑推理) 3.理解等角定理,并会应用其解决有关问题.(逻辑推理、数学运算) 思维脉络 【激趣诱思】 右面图片中的桌子的横向的边沿所在的直线给我们的印象是互相平行,而窗子的竖直的边沿所在的直线与桌子的横向的边沿所在的直线给我们的直观印象是既不相交也不平行,如何刻画这种关系呢? 【知识点拨】 知识点一:空间中直线与直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有以下三种: 微思考 空间中没有公共点的两直线有哪几种位置关系? 提示 平行与异面. 知识点二:关于平行直线的基本事实 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 若a,b,c为空间中三条不重合的直线,且a∥b,a∥c,则b∥c 作用 判断或证明两条直线平行 说明 关于平行直线的基本事实表述的性质通常叫作平行线的传递性 微练习 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'与DD'平行吗? 提示 BB'与DD'平行. 知识点三:等角定理  　　　　　　 在平面上也成立 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.　　　　　　 不涉及方向  要点笔记 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同(或相反),那么这两个角相等;如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且一组对应边的方向相同,另一组对应边的方向相反,那么这两个角互补. 微思考 如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠A'D'C',∠ADC与∠D'C'B'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 提示 ∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠D'C'B'=180°. 探究一 空间直线的位置关系 例1已知直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 答案 D 解析 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,可知A1B1与AA1相交,且AB∥A1B1;AD与AA1相交,且AB与AD相交;A1D1与AA1相交,且AB与A1D1异面.故选D. 要点笔记 判断空间两直线的位置关系的方法:一是利用定义及推理论证法,二是通过构造空间几何体帮助判断(常见的空间几何体主要是长方体、正方体等). 变式训练1若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c(　　) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 答案 C 解析 若b∥c,由a∥b,知a∥c,这与a,c异面相矛盾,则b与c不可能平行,故选C. 探究二 平行线传递性的应用 例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:四边形B1EDF是菱形. 分析取B1C1的中点G,证明四边形GEDD1,FB1GD1都是平行四边形,从而得到四边形B1EDF是平行四边形,再证明B1E=B1F即可. 证明 如图,取B1C1的中点G,连接GD1,GE, 则GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D, ∴四边形GEDD1是平行四边形,GD1∥ED,GD1=ED. ∵FD1∥B1G,FD1=B1G,∴四边形FB1GD1是平行四边形, ∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED, ∴四边形B1EDF是平行四边形, ∴B1E=B1F,∴四边形B1EDF是菱形. 反思感悟 空间中两条直线平行的证明方法 证明空间中两条直线平行的方法有两个:一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线,平行四边形性质,平行线分线段成比例定理等)证明;二是利用关于平行直线的基本事实,就是需要找到第三条直线c,设a∥c,b∥c,由基本事实得到a∥b. 变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形. 证明 如图所示,连接A'C', 因为M,N分别是A'D',C'D'的中点, 所以MN∥A'C',且MN= A'C'. 由正方体的性质可知A'C'∥AC,且A'C'=AC, 所以MN∥AC,且MN= AC, 所以四边形ACNM是梯形. 探究三 等角定理的应用