第10讲 主元法巧解双变量或多变量问题-2024年新高考数学二轮复习专题突破精练（新高考地区专用）

第10讲 主元法巧解双变量或多变量问题 【典型例题】 例1．（2024·全国·一模）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，，总有且．若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或或 例2．（2024·高三·全国·专题练习）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为 . 例3．（2024·浙江衢州·一模）已知实数a，b，c满足，则的最小值是 . 例4．（2024·高一·浙江湖州·期末）已知实数a，b，c满足，则abc的最小值是 ． 例5．（2024·高三·全国·竞赛）实数，，满足，.则的最小值是 . 例6．（2024·江苏徐州·一模）设实数，，，满足，，则的取值范围是 ． 例7．（2024·高三·全国·专题练习）若，，设，则的最小值为 ． 例8．（2024·河南商丘·二模）已知函数. （1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围； （2）当时，求证：且，有. 例9．（2024·高三·山西太原·阶段练习）知函数． (1)求函数的单调区间和最小值； (2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）； (3)若，求证：． 例10．（2024·高三·江西南昌·阶段练习）已知函数． （1）求的最小值； （2）讨论关于x的方程的解的个数； （3）当a＞0，b＞0时，求证：． 例11．（2024·高二·河南驻马店·期末）已知函数. （1）讨论的单调性; （2）当时，证明: 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高二·河北衡水·阶段练习）已知函数，对于，若，满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．（2024·高三·江西·阶段练习）设函数，若时，＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（-∞，0） C．（-∞，） D．（-∞，1） 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 A．(-3，+) B．(-1，+) C．(-，-3) D．(-，-1) 4．（2024·高三·全国·专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·浙江金华·期末）若存在正实数，使得，则 A．实数的最大值为 B．实数的最小值为 C．实数的最大值为 D．实数的最小值为 6．（2024·浙江台州·一模）已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·二模）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则（    ） A．b的最小值为4 B．b的最小值为6 C．b的最小值为8 D．b的最小值为10 8．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知实数，，满足，则的最小值是 A． B． C．-1 D． 二、填空题 9．（2024·高二·全国·假期作业）设首项为，公差为的递增等差数列的前项和为，其中，为实数，若，则的取值范围是 ． 10．（2024·高三·全国·专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为 ． 11．（2024·高二·浙江·期末）若 ，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 12．（2024·高三·浙江·阶段练习）若正数，，满足，则的最大值是 . 13．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ． 三、解答题 14．（2024·天津南开·模拟预测）已知函数，（为自然对数的底数） (1)当时，求的单调区间； (2)时，若函数与的图象有且仅有一个公共点. （i）求实数的集合； （ii）设经过点有且仅有3条直线与函数的图象相切，求证：当时，. 15．（2024·高三·北京·开学考试）已知. (1)若，求在处的切线方程； (2)设，求的单调区间； (3)求证：当时，. 16．（2024·高三·全国·专题练习）设函数. (1)求的极值； (2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：. 17．（2024·高一·湖南·阶段练习）设是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域. (1)已知，若，求 (2)非零向量，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？ (3)设二元函数的定义域为，如果存在实数满足： ①，都有， ②，使得. 那么，我们称是二元函数的最小值.求的最大值. 18．（20