三角函数和解三角形讲义-2024届高三数学二轮复习

三角函数图象及性质 1、 【考点聚焦】 知识点1：正弦、余弦正切、函数的图象 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 时， 时， 时， 时， 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 知识点2：正弦、余弦函数图象的画法 1.正弦图像画法： (1)几何法:①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点. ②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度). (2)“五点法”:在函数,的图象上,以下五个点：，，，， 2.余弦图像画法 (1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为. (2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 知识点3：函数的周期性 1.周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 知识点4：正弦函数、余弦、正切函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：； 无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 知识点5：正弦函数、余弦、正切函数的图象和性质 的图象与性质（） （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值（）.对于， （4）对称轴与对称中心.（） 对于， （5）单调性.（） 对于， （6）平移与伸缩 由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 (1)先平移后伸缩　　　　　　 (2)先伸缩后平移 2、 【典例分析】 考点一：三角函数的性质 例1．（多选）（2022·广东汕头·高三期末）对于函数，x∈R，则（    ） A．f(x)的最大值为1 B．直线为其对称轴 C．f(x)在上单调递增 D．点为其对称中心 例2．（2022·广东珠海·高三期末）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 B．的图象关于直线对称 C．的表达式可以改写为 D．若函数在的值域为，则m的取值范围是 例3.（2024·成都七中入学）设函数若存在且，使得，则的取值范围是（ ） 【方法技巧与总结】 研究三角函数的性质，关键式将函数化为与 的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 【变式练习】 1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，则该函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，则下列说法正确的是（       ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 3.设函数，若时，的最小值为，则（       ） A．函数的周期为 B．将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C．当，的值域为 D．函数在区间上的零点个数共有6个 4.若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（       ） A． B． C．4 D． 5.（2022·广东湛江·一模）已知函数，，，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为___________. 6．已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题： (1)化简的表达式并求的单调递增区间； (2)已知，求的值. 考点二：三角函数的图象 【典例例题】 例1．（2022·广东·金山中学高三期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右