2024年九年级中考数学复习讲义 专题八 解直角三角形的应用

专题八 解直角三角形的应用 类型一　方向角问题 典例1　(2023·聊城)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)，求明珠大剧院到龙堤BC的距离．(结果精确到1 m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50) 典例1图 思路导析　过点P作PE⊥BC于点E，过点A作AD⊥PE于点D，根据矩形的性质得到DE＝AB＝520 m，设PD＝x m，解直角三角形即可得到结论． 解：过点P作PE⊥BC于点E，过点A作AD⊥PE于点D. 典例1图 则四边形ADEB是矩形， ∴DE＝AB＝520 m， 设PD＝x m. 在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°， ∴AD＝≈＝(m)， ∴BE＝AD＝m， ∴PE＝PD＋DE＝(x＋520)m，CE＝BC－BE＝m， 在Rt△PCE中，PE＝tanC·CE， 即x＋520＝1.5， 解得x＝800， ∴PD＝800 m， ∴PE＝PD＋DE＝800＋520＝1 320(m)， 答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1 320 m. 1．(2023·广安)为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东 58°方向． (1)求步道DE的长度； (2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近． (结果精确到个位，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73) 第1题图 2．(2023·重庆)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向． (1)求AD的长度；(结果精确到1千米) (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ (参考数据：≈1.41，≈1.73) 第2题图 类型二　俯角、仰角问题 典例2　(2023·随州)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上) 典例2图 (1)求点D到地面BC的距离； (2)求该建筑物的高度AB. 思路导析　(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，根据三角函数的定义得到CE＝5，根据勾股定理得到DE＝＝5(m)； (2)过点D作DF⊥AB于点F，则BF＝DE＝5 m，设BC＝x m，则BE＝DF＝(5＋x)m，解直角三角形即可得到结论． 解：(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E. 在Rt△DCE中，cosα＝cos30°＝＝＝， 解得CE＝5， ∴DE＝＝5(m)， 即点D到地面BC的距离为5 m； (2)过点D作DF⊥AB于点F.则BF＝DE＝5 m. 典例2图 设BC＝x m，则BE＝DF＝(5＋x)m. 在Rt△ABC中，tan60°＝＝＝， 解得AB＝x， ∴AF＝(x－5)m， 在Rt△ADF中，AF＝DF·tan30°， 即x－5＝(5＋x)， 解得x＝5， ∴AB＝×5＝15(m)， ∴居民楼的高度AB为15 m. 1．(2023·张家界)“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225 m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200 m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97， tan15°≈0.27) 第1题图 2．(2023·内江)某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教