2024年中考数学二轮复习讲义 解答题 专题二：抛物线上的线段长问题的转化与探究

2024年二轮复习解答题专题二： 抛物线上的线段长问题的转化与探究 方法点睛 二次函数图象上的线段长问题，往往涉及到以下三类：平行x轴或y轴的线段长，一般的斜线类线段，与线段之间的数量有关的问题。 典例分析 类型一：平行于x轴或y轴的线段长的问题 例1：（2022湘潭中考）已知抛物线． （1）如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接． ①求该抛物线所表示的二次函数表达式； ②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围． 类型二：一般的斜线类线段问题 例2：（2022内江中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）． （1）求这条抛物线所对应的函数的表达式； （2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标； （3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标． 类型三：与线段之间的数量有关的问题 例3： （2022德阳中考） 抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称． （1）如图①，求射线的解析式； （2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值； （3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值． 专题过关 1. （2022镇江中考）一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，一次函数与二次函数的图像交于点、（），过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点． ①_________，_________（分别用含的代数式表示）； ②证明：； （3）如图2，二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的，且与一次函数的图像交于点、（点在点的左侧），过点作直线轴，过点作直线轴，设平移后点、的对应点分别为、，过点作于点，过点作于点． ①与相等吗？请说明你的理由； ②若，求的值． 2．（2022益阳中考）（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B． （1）求a的值； （2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？ （3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022湘西中考）（12分）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）． （1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标． （2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值． （3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4. （2022天津中考） 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． （1）若， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； （2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标． 5. （2022眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． （1）求点坐标； （2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； （3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6. （2022乐山中考）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． （