5.1.2正弦函数性质再认识（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第一章《三角函数》 《5.1.1正弦函数的图象》教学设计 【教学目标】 1.掌握正弦函数的性质，会求正弦函数的单调区间、最值；（数学运算） 2.利用正弦函数的图象理解正弦函数的奇偶性、对称性；（数学运算） 3.通过对正弦函数图象的研究过程，深化对一般函数研究方法的再认识.（直观想象） 【教学重点】 1.借助正弦函数的图象理解正弦函数的性质； 2.掌握求正弦函数单调区间、最值、熟练应用正弦函数的奇偶性、对称性解决问题. 【教学难点】 正弦型函数性质的综合应用 【教学过程】 一、复习回顾，提出问题 在第4..2节中，我们借助单位圆学习了正弦函数y＝sin x 的定义域、值域、最值、周期、单调性等性质，这节课，我继续从正弦函数的图象进一步理解正弦函数的性质. 请同学们观察图1-35，结合正弦函数的图象思考一下问题： （1）正弦函数y＝sin x的定义域是？ （2）正弦函数的图象每间隔2π个单位长度，函数值呈现什么规律，正弦函数的周期是？ （3）正弦函数的单调性？ （4）正弦函数的最值和值域？ （5）正弦函数的奇偶性？ （6）探索正弦函数图象的对称性.它有对称轴吗?有对称中心吗? 二、正弦函数性质的再认识 结合正弦曲线，继续探究正弦函数的性质，从图象的直观对正弦函数的性质再认识. （1）正弦函数的定义域 从正弦函数图象上看，正弦函数的定义域是实数集R. （2）正弦函数的周期性 从正弦函数的图象(如图)可以看到，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.即正弦函数是周期函数，它的最小正周期为2π.同样，也可以从诱导公式sin (2kπ＋x)＝sin x，k∈Z中得到正弦函数的最小正周期为2π. （3）正弦函数的单调性 在正弦函数的图象中，选取长度为2π的区间[－,],观察图1-36，可以看出：当x由－增加到时，sin x的值由-1增加到1；当x由增加到时，sin x的值由1减小到-1. 正弦函数在区间[－，]上单调递增,在区间[，]上单调递减. 由正弦函数的周期性可知，正弦函数在每一个区间[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上都单调递增，在每一个区间[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上都单调递减. （4）正弦函数的最值和值域 设集合A={x| x =＋2kπ, k∈Z}, B={x| －＋2kπ, k∈Z }, 当x∈A时,正弦函数y＝sin x取得最大值1;反之，当正弦函数y＝sin x达到最大值1时, x∈A. 当x∈B时,正弦函数y＝sin x取得最小值-1;反之，当正弦函数y＝sin x达到最小值-1时, x∈B. 从正弦函数的图象(如图)可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间，所以正弦函数的值域是[-1，1]. （5）正弦函数的奇偶性 正弦曲线关于原点对称，如图.由诱导公式sin(-x)=-sinx可知，正弦函数是奇函数. （6）正弦函数的对称性 提示：有，对称轴是x＝＋kπ，k∈Z；对称中心是（kπ，0）. 正弦函数在最值位置取到对称轴，图象与x轴的交点是对称中心. 归纳总结，形成知识网络 1.正弦函数的性质 函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 图象 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 周期性 周期函数，周期为2kπ，k∈Z且k≠0，2π是它的最小正周期 奇偶性 奇函数，，图象关于原点对称 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上是增函数； 在[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上是减函数 对称轴 x＝＋kπ，k∈Z 对称中心 (kπ，0)，k∈Z 三、正弦函数性质的应用 应用一、与正弦函数有关的定义域问题 课本P37A组第3题 3.求下列函数的定义域 （1） （2） ； 【方法点拨】求具体函数的定义域(有解析式的) （1）①②()③④⑤若同时出现以上多中类型，先分别求再取交集； （2）与正弦函数有关的定义域问题，转化为解正弦不等式的问题. 应用二、与正弦函数有关的值域问题 （1）当时,的最值： 例1．函数的最大值为 . 解：因为的最大值为，所以的最大值为3. 【当堂训练1】课本P39A组练习第2题 2.求使下列函数取得最大值、最小值的x自变量的集合，并分别写出最大值、最小值. （1）； （2） （2）形如y＝a sin x＋b(a≠0)的函数的最值或值域问题，一般利用正弦函数的有界性(sin x∈[－1，1])求解 例2．函数，，则y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：由的单调性知，在上函数单调递增，在上函数单调递减， 又，，，故. 【当堂训练2】函数的最大值为 .