1.5.1.1 正弦函数的图象-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（北师大版2019）

5.1　正弦函数的图象与性质再认识 第1课时　正弦函数的图象 [学习目标]　1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点(画图)法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点(画图)法”作出简单的正弦曲线.3.会利用正弦函数图象求定义域． 导语 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示)．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板．这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．图(2)就是某个简谐运动的图象． 一、正弦函数的图象 问题1　我们根据正弦函数的定义，求出x＝0，，，，…，2π对应的函数值，借助单位圆，可以画出正弦函数在区间[0,2π]上的图象吗？ 提示　在区间[0,2π]上取一系列的x值，例如0，，，，…，2π，并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图(1))，列表． x 0 sin x 0 1 x π 2π sin x 0 － － －1 － － 0 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y＝sin x性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y＝sin x在区间[0,2π]上的图象(如图(2))． 问题2　由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x，k∈Z，把函数y＝sin x，x∈[0,2π]上的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，能不能得到正弦函数在定义域R上的图象？ 提示　将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象(如图(3))． 知识梳理 1．定义 正弦函数的图象称作正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 2．图象 二、利用正弦函数图象求定义域 例1　求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域． 解　由题意，得x满足不等式组 即作出y＝sin x，－4≤x≤4的图象， 如图所示． 结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π)． 即f(x)的定义域为[－4，－π)∪(0，π)． 延伸探究　本例条件改为求函数y＝lg的定义域． 解　要使函数式有意义，自变量x应满足sin x－>0， 即sin x>， 在同一直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0,2π]以及直线y＝的图象． 由函数的图象知，sin ＝sin ＝. 所以根据图象可知sin x>的解集为. 又x∈R，故该函数的定义域为 . 反思感悟　利用正弦函数图象求定义域 (1)利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解． (2)利用正弦函数图象解形如sin x>a(或<a)的步骤： ①画出直线y＝a，y＝sin x的图象； ②确定sin x＝a时x的值； ③确定sin x>a(或<a)的解集． 跟踪训练1　函数y＝的定义域为__________________________________． 答案　 解析　为使函数有意义， 需满足即0<sin x≤. 由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为 . 　 三、“五点(画图)法”作正弦函数的图象 问题3　借助单位圆作图虽然精确，但太麻烦，有没有快捷画y＝sin x，x∈[0,2π]图象的方法？你认为图象上哪些点是关键点？ 提示　有，利用特殊角的三角函数值． (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 知识梳理 “五点(画图)法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的步骤 (1)列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 (2)描点 画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (3)连线 用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图． 例2　利用“五点(画图)法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解　取值列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示． 反思感悟　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图．“五点”即y＝sin x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点(画图)法”是作简图的常用方法． 跟踪训练2　用“五点(画图)法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图． 解　(1)取值列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 ＋sin x － (2)描点、连线，如图所示． 1．知识清单： (1)正弦函数的图象． (2)函数图象的应用． (3)“五点(画图)法”作图． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：五点的选取． 1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　) 答案　B 解析　y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B. 2．用“五点(画图)法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是(　　) A．0，，，，π B．0，，π，，2π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 答案　B 解析　所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π，故选B. 3．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A．重合 B．形状相同，位置不同 C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同 答案　B 解析　根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 4．函数y＝的定义域为________________________________________________． 答案　，k∈Z 解析　由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0， 即sin x≥.由y＝sin x在[0,2π]上的图象(图略)可知，≤x≤，又x∈R，故y＝的定义域为，k∈Z . 1．(多选)用“五点(画图)法”画y＝3sin x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点(　　) A. B. C．(π，0) D．(2π，3) 答案　AD 解析　五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.代入计算得B，C是关键点． 2．(多选)对于正弦函数的图象，下列四个说法中正确的是(　　) A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．有无数条对称轴 答案　AD 解析　由正弦曲线知，A，D正确． 3．函数y＝sin x的图象与函数y＝－sin x的图象关于(　　) A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 答案　A 解析　在同一直角坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象(图略)，可知它们关于x轴对称． 4．在[0,2π]上，函数y＝的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意得2sin x－≥0，即sin x≥.作出y＝sin x在[0,2π]上的图象及直线y＝，如图所示．由图象可知，满足sin x≥的x的取值范围是，故选B. 5．函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的简图是(　　) 答案　A 解析　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 y＝2－sin x 2 1 2 3 2 观察各图象发现A项符合． 6．函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象(如图所示)， 可知其与直线y＝有2个交点． 7．若存在m，使得sin x＝2m＋1，x∈R，则m的取值范围是________． 答案　[－1,0] 解析　因为sin x∈[－1,1]，所以－1≤2m＋1≤1， 故－1≤m≤0. 8．已知函数f(x)＝2sin x＋1，若f(x)的图象过点，则m＝________；若f(x)<0，则x的取值集合为________________________． 答案　3　 解析　当x＝时，f(x)＝2sin ＋1＝3，∴m＝3. f(x)<0，即sin x<－， 作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示． 由图知x的取值集合为 . 9．用“五点(画图)法”作出函数y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象． 解　列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x 1 3 1 －1 1 描点、连线得出y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的图象如图所示． 10．利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的取值范围． 解　首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示， 作直线y＝，根据特殊角的正弦值， 可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为和； 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为和. 观察图象可知，在[0,2π]上， 当<x≤或≤x<时， 不等式<sin x≤成立． 所以<sin x≤的解集为. 11．(多选)函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]的图象与直线y＝a有一个交点，则a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 答案　BD 解析　画出y＝sin x－1的图象．如图． 依题意a＝0或a＝－2. 12．如图所示，函数y＝cos x|tan x|的图象是(　　) 答案　C 解析　当0≤x<时，y＝cos x|tan x|＝sin x； 当<x≤π时，y＝cos x|tan x|＝－sin x； 当π<x<时，y＝cos x|tan x|＝sin x，故其图象为C. 13．方程sin x＝的根的个数是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　A 解析　在同一平面直角坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示． 根据图象可知方程有7个根． 14．已知函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________________________． 答案　 解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象(图略)，由图可得不等式f(x)>的解集为. 15．已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为______． 答案　4π 解析　数形结合，如图所示， y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积， 即S＝×2＝4π. 16．若方程sin x＝在区间上有两个实数根，求a的取值范围． 解　在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象， 由图象可知，当≤<1， 即－1<a≤1－时，y＝sin x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点， 即若方程sin x＝在区间上有两个实数根， 则a的取值范围为(－1,1－]． 学科网（北京）股份有限公司 $$