浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题

2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟。 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答， 超出答题区域的作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数y=|sinx的最小正周期是(.) A.子 B.月 C.π D.2π 2.设m,n表示两条不同直线，a表示平面，则() A.若mlla,nlla,则mlln B.若m⊥a,nca,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥n,则nl/a D.若ml/a,m⊥n,则n⊥a 3.已知a,b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为b,则向量 a与向量a一b的夹角为() A:30° B.60° …C.909 D.120° 4.设甲：“函数f)=2 sin在[>到单调递增，乙：“0<w≤2”，则甲是 乙的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an十b+1=2n,an+1十bn=2”.设Sn为数 列{an十bm}的前n项的和，则S=（) A.110 B,120 C.288 D.306 6.将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同 的分配方法数是() A.300 B,240 C.150 D.50 第1页（共4页） 7.设集合M={1,一1}，N={x|x>0且x≠1}，函数f(x)=+1aX(a>0 且a≠1)，则() A.1∈M,3a∈N,f(x)为增函数B.31∈M,a∈N,f(x)为减函数 C.i∈M,3a∈N,f(x)为奇函数D.λ∈M,a∈N,f(x)为偶函数 8.在△ABC中，已知n-=sinC,验-ncosC.若anM+孕=-3，则n= sinB cosB () A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知关于x的方程x2+x+1=0（一2<1<2)的两根为z1和z2,则() A.2=Z2 B.1·z2=1 C.1z1=|z2l D.= 10.已知函数fx)对任意实数x均满足2f(x)+f(x2一1)=1，则() A.f(一x)=fx) B.f(W2)=1 c.f-)= D.函数f(x)在区间（√2，√3）上不单调 11.过点P(2,0)的直线与抛物线C:y=4x交于A,B两点.抛物线C在点A 处的切线与直线x=一2交于点N,作NM⊥AP交AB于点M,则.(，) A.直线NB与抛物线C有2个公共点 B.直线MN恒过定点 C.点M的轨迹方程是(x一1)2+y2=1(x≠0) D,g的最小值为8v2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.写出与圆2+y=1相切且方向向量为(1，V3)的一条直线的方程 13.函数/=的最大值为 14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长 为12cm,开口直径为8cm,旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸 杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于一： (第4题) 第2页（共4页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an十1(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式： （2)数列私}满足b1=3,令ab,=a+2b1,求证：4<号 16.(15分) 已知函数f)=alnc+2)一2x2(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若函数(x)有两个极值点， (i)求实数a的取值范围； ,7, (ii)证明：函数f(x)有且只有一个零点. 17.(15分) 如图，在多面体ABCDP9中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°，BC= 2P2=4AB=4,M为BC的中点，P2∥BC,'PD上DC,2B上MD. (1)证明：∠ABQ=90°： (2)若多面体ABCDP2的体积为号，求平面 PCD与平面QAB夹角的余弦值， D (第17题图) 第3页（共4页） 18.(17分) 已知A,B是椭圆E:芒+y=1的左，右顶点，点Mm,0)(m>0)与椭圆上 的点的距离的最小值为1. (1)求点M的坐标 (2)过点M作直线I交椭圆E于C,D两点（与A,B不重合），连接AC BD交于点G ()证明：点G在定直线上： (ii)是否存在点G使得CG⊥DG,若存在，求出直线I的斜率：若不存 在，请说明理由， 19.(17分)