2024年中考数学几何模型必考点：05最值之阿氏圆问题 讲义

阿氏圆问题 一、知识导航 所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆． 如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆． 下给出证明 法一：首先了解两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则． 证明：，，即 （2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则． 证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即． 接下来开始证明步骤： 如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点； 又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆． 法二：建系 不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即： 解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线． 除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性质： （1）． 应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O． （2）△OBP∽△OPA，即，变形为． 应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置． （3）． 应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA：PB的值． 二、典例精析 1.如图，在△ABC中，AB=4,AC=2，点D为AB边上一点，当AD= 时，△ACD∽△ABC. 解：若△ACD∽△ABC则有即 ∵AB=4,AC=2 ∴ 故答案为1. 2.如图，点P是半径为2的上一动点，点A、B为外的定点，连接PA、PB，点B与圆心O的距离为4.要使的值最小，如何确定点P，并说明理由. 【思路分析】构造相似三角形，将所求两条线段的和转化为一条线段，此线段与圆的交点即为所求. 【详解】连接OB，OP，在OB上截取OC=1，连接AC交于点 ,连接PC. 根据阿氏圆可得即 当点A、P、C三点共线时，PA+PC的值最小，最小值为AC的长，即当点P与重合时，PA+的值最小. 3.如图，平面直角坐标系中，A（4,0），B（0,3），点E在以原点O为圆心，2为半径的圆上运动，求的最小值. 【思路分析】在坐标轴上找一点，构造相似三角形，利用对应边成比例将两条线段的和转化为求一条线段的长，即为最小值. 【详解】如图，在y轴上取一点M ，连接OE，EM，AM，则OE=2，OB=3，OM= ∴ 又∵ ∴ ∴,即 ∴ 当A、E、M三点共线时，AE+BM的值最小，最小值为AM的长. 在中， ∴当E为线段AM与的交点时，有最小值为. 三、真题演练 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（    ）      A．7 B．5 C． D． 2．【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为 ．    3．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ． 4．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ． 5．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ． 6．如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 8．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为 ． 9．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ． 10．如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是 ． 11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连