上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期4月段考数学试卷

2023-2024学年上海市南模中学高二年级下学期 4月段考数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为______. 2.直线被圆截得的弦长为______. 3.两条直线和的夹角大小为______. 4.设直线经过点，则当点与直线的距离最远时，直线的方程是______. 5.若椭圆的离心率为，则______. 6.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为______. 7.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ______． 8.已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为______. 9.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是______. 10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______. 11.已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当时，，则______. 12.已知曲线，，其中． ①当时，曲线与有4个公共点； ②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积； ③存在，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积； ④对任意，曲线围成的区域内整点（即横、纵坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域内整点个数． 其中，所有正确结论的序号是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知直线与直线互相平行，则实数的值为　　 A． B．2或 C．2 D． 14.设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 15.已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则　　 A． B． C． D． 16.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知平面内两定点，，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与曲线交于不同的两点、，求 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知直线和圆． （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通号线线路示意图如图所示，已知、是东西方向主干道边两个景点，、是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心均为，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，线路段上任意一点到的距离都相等，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，以为原点建立平面直角坐标系． （1）求轨道交通号线线路示意图所在曲线的方程； （2）规划中的线路段上需建一站点到景点的距离最近，问如何设置站点位置？ 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知双曲线的左右焦点为 （1）若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程 （2）若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为，若，求 （3）在（1）的条件下，若动直线与恰有1个公共点且与的两条渐近线分别交于，记的面积为，的面积为（是坐标原点），问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由。 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （1）若，求点的横坐标； （2）证明：直线过定点； （3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2