第六章 计数原理 单元检测-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理单元检测 一、单选题 1．每天从甲地到乙地的飞机有5班，高铁有10趟，动车有6趟，公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地，则其出行方案共有（    ） A．22种 B．33种 C．300种 D．3 600种 2．高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（    ） A．20种 B．16种 C．12种 D．8种 4．下列关于排列数与组合数的等式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．的展开式中常数项为（    ） A．120 B． C．180 D． 6．设，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则被10除所得的余数为（    ） A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是 8．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．则此数列的前15项之和为（    ） A．114 B．116 C．124 D．126 二、多选题 9．下列说法中正确的有（    ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果 10．下列说法正确的有（    ） A．某市地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有节车厢，两人乘坐车厢的方法共有种 B．某小组有名男生，名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有种 C．在一次运动会上有四项比赛，它们的冠军在甲、乙、丙三人中产生，每项比赛冠军只有一人，那么不同的夺冠情况共有种 D．某小组有名男生，名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有种 11．若各项的二项式系数之和为32，则（    ） A．的展开式共有5项 B． C．的展开式的常数项为40 D．的展开式的第5项的系数为5 三、填空题 12．在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ． 13．已知正整数，，，，满足，则不同的有序实数对有 种可能． 14．欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素(两个数只有公约数1)的正整数的个数.例如：，.现从中任选两个数，则这两个数相同的概率是 . 四、解答题 15．从这7个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 16．计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 17．现有4名男生和3名女生. (1)若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ (2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； (3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 18．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2. (1)求n的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)设，则当时，求a除以15所得余数. 19．（1）已知k，，且，求证：； （2）若，且，证明：； （3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数. 答案 1．B 2．D 3．B 4．C 5．D 6．D 7．C 8．A 9．BC 10．AD 11．BC 12． 13．126 14． 15．（1）第一步：千位不能为0，有6种选择； 第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择； 第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择； 第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择． 根据分步计数原理，能组成个没有重复数字的四位数． （2）第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有个； 第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个； 第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有个． 根据分类计数原理．能组成个没有重复数字的四位偶数． 16．