第六章计数原理单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 高二数学计数原理单元卷，涵盖二项式定理、排列组合、概率等核心知识，通过基础题与综合题结合，考查抽象能力、推理能力及应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式展开项数、数字排列、分步计数|结合星期周期（题6）考查二项式定理应用，体现数学建模| |多选题|3/18|二项式性质、排列组合数关系|辨析二项式系数与系数（题9），培养批判性思维| |填空题|3/15|常数项计算、多项式系数、概率|以“五一”值班为情境（题14），强化应用意识| |解答题|5/77|二项式定理综合、排列组合应用题|分层设计排队问题（题18），从全排列到定序，提升逻辑推理能力|

2025--2026学年第二学期高二数学计数原理测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知二项式的展开式共有19项，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．用数字组成没有重复数字且大于的四位数，这样的四位数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（   ） A． B． C． D． 4．（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 5．当时，将三项式展开，可得到下列等式： 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第行共有个数，则在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．如果今天是星期五，那么天后是星期几？（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期六 7．会议室前排共有6个座位．某次会议，要从4名男性中选2人，从3名女性中选2人，共4人安排在前排就坐，则不同的安排方法有（   ） A．5930种 B．6480种 C．6820种 D．7660种 8．的展开式中的系数是（    ） A．120 B．220 C．260 D．280 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．常数项为1120 B．第4项二项式系数最大 C．所有项的二项式系数和为 D．所有项的系数和为 10．已知2≤m＜n，，则下列排列组合数关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．展开式中，常数项是________． 13．的展开式合并同类项后，含的项的系数为________（结果用数值表示）． 14．在今年”五一”的5天长假中，某单位欲从甲、乙等6名安保人员中随机选取5人来安排5月1日至5日的值班，每人值一天班，则甲、乙两人至少有一人在1日或5日值班的概率为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题13分在的展开式中，二项式系数和为 (1)求的值并求展开式中的常数项； (2)求展开式中的系数． 16．本小题15分已知（，）. (1)若展开式的二项式系数和为128，求n的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若，则求a的值： (3)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 17．本小题15分设． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 18．本小题17分包含甲乙丙在内的7人站成一排. (1)一共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？ (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？ 19．本小题17分已知，其中满足．对于的展开式，求： (1)值； (2)含项的系数； (3)系数最大的项． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D A B B B ACD BC 题号 11 答案 ABC 1．A 【详解】由二项式的展开式共有19项， 则，故. 2．C 【详解】当千位为或时，所组成的四位数一定大于；当千位为或时，所组成的四位数一定小于， 满足题意的四位数有个. 3．B 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列数适用于有顺序要求的排法场景，分两步计算总排法数即可. 【详解】第一步：从200人中选取50人组成A方队，考虑站位顺序，共有种排法； 第二步：第一步选取后剩余人，从中选取100人组成B方队，考虑站位顺序，共有种排法； 根据分步乘法计数原理，总排法数为两步排法数的乘积，即. 4．D 【详解】. 5．A 【详解】由题意可知的展开式的系数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1， 故的展开式中的系数为30，的系数为45， 所以的展开式中的系数为，解得. 6．B 【分析】利用二项式定理求除以7的余数，再结合星期的周期规律，从星期五往后数对应天数即可求得. 【详解】因为一周是7天，所以只需计算除以7 的余数. 因为 ，（） 因为除最后一项，其余项都是7的倍数，所以除以7的余数等于除以7 的余数， 又因为， 而 ，（） 除最后一项1，其余项都是7的倍数，都能被7 整除，所以除以7 的余数是1， 因此除以7的余数为，今天是星期五，往后数4天就是星期二. 7．B 【分析】从4名男性中选2人，从3名女性中选2人，再安排座位. 【详解】第一步，选人：从4名男性中选2人，从3名女性中选2人，有种选法． 第二步，安排座位：从6个座位中选4个安排选出的4人，有种安排方法． 由分步乘法计数原理，有种安排方法． 8．B 【详解】的通项公式为， 故展开式中的系数为， 故的展开式中的系数是. 9．ACD 【详解】对于A，展开式的常数项为，A正确； 对于B，展开式共9项，第5项的二项式系数最大，B错误； 对于C，所有项的二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得所有项的系数和为，D正确. 10．BC 【详解】对于A，，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 11．ABC 【详解】由题意可得，则，故A正确； 因为，所以展开式的二项式系数和为，当时，展开式中的系数和为，故B正确； 令，得，令，得， 两式相减可得，故C正确； 令，则， 令，则，所以，故D不正确. 12． 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的幂次为0求出的值，代入计算即可得到常数项. 【详解】根据二项式定理展开式的通项为： ， 令，得， 故展开式的常数项为. 故答案为60. 13．480 【详解】， 要得到含的项，则6个因式中有1个因式取，2个因式取，3个因式取， 所以含的项为，系数为. 14．/ 【分析】利用对立事件简化计算，先求甲、乙均不在1日和5日值班的概率，再通过补集思想得到所求事件的概率. 【详解】从6名安保人员中随机选取5人安排5天值班，总排法数为 . “甲、乙两人至少有一人在1日或5日值班”的对立事件为”甲、乙两人均不在1日和5日值班”， 先从除甲、乙外的4人中选2人安排1日和5日值班，排法数为 ； 再从剩余4人中选3人安排2、3、4日值班，排法数为 . 因此对立事件的排法数为 . 对立事件的概率为 ，故所求概率为 . 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件结合二项式系数的性质求出，进而求出的展开式的通项公式，从而求出常数项； （2）根据（1）的结论明确问题并求出含和的项，从而求出展开式中的系数． 【详解】（1）已知二项式系数和为，则，解得， 则的展开式的通项公式为：， 令得， 的展开式的常数项为． （2），则问题为求展开式中的系数， 由于， 由（1）知的展开式的通项公式为：， 则展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为，故其系数为． 16．(1)7 (2)或 (3) 【分析】（1）根据，可求的值. （2）根据二项展开式的通项公式，求出的系数和常数项，根据可求的值. （3）设为二项展开式的第项的系数，由，确定的值，再求即可. 【详解】（1）由题意. （2）当时， 展开式的通项公式为. 由，所以； 由，所以. 由，又，所以或. （3）当，时， ， 其展开式的通项公式为. 其系数为. 由， 所以. 所以二项式的展开式中第5项的系数最大，且. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）借助赋值法，令代入计算即可得； （2）结合（1）中所得，再令代入计算即可得； （3）借助二项式的展开式的通项公式计算可得每项系数的正负，结合（2）中所得即可得解. 【详解】（1）令，则有， 即； （2）令，则有， 即， 又， 则； （3）对，有，且， 则当为奇数时，为负数，当为偶数时，为正数， 故. 18．(1)5040 (2)240 (3)720 (4)1440 (5)840 【详解】（1）7人站成一排，共有种不同的排法. （2）先排甲、乙两人，共有种不同的排法， 再排其他人，共有种不同的排法， 所以共有种不同的排法. （3）把甲、乙、丙三人看成一个整体，再与其他人一起排队， 所以共有种不同的排法. （4）先排其余4人，再把甲乙丙插入4人形成的5个空位（含两端），保证均不相邻， 所以共有种不同的排法. （5）7人的全排列中，甲乙丙的相对顺序共种，仅1种符合要求， 所以共有种不同的排法. 19．(1) (2) (3)第6项和第7项 【分析】（1）根据组合数公式列方程求解即可. （2）利用二项展开式的通项公式求指定项的系数. （3）设第项的系数，利用，可确定的值，进而得到系数最大的项. 【详解】（1）根据，知， 整理得， 即，又，， 所以． （2）由于，所以． 则展开式中第项，，1，2，…，8． 当时，解得． 所以含项的系数为． （3）因为的展开式的第项的系数为，，1，2，…，8． 不妨设第最大，，2，…，7， 则，， 即，， 解得， 又， 所以为最大． 所以系数最大的项为第6项和第7项． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $