8.6.2 直线与平面垂直（二）课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直（二） 教学目标 1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.(重难点) 3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.(重难点) 问题1 当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？ 直线与平面所成角的定义： 如图，一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点A叫做斜足. 过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 范围： 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°； 一条直线与平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. 直线与平面所成角的取值范围为0°90°. 追问1 如果AB是平面内任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是怎样的？ 问题2 请你类比直线与平面平行的性质的研究方法和研究思路，在长方体中找出一组相互垂直的棱和面，观察其余的棱和面与已知棱和面有怎样的位置关系，将你的得到的结论推广到直线和平面垂直的一般情况，并于图形和符号表示. 追问 你能将上述在长方体中得到的结论推广到一般情况吗？ 问题3 如图，已知直线和平面.如果⊥，⊥，那么直线一定平行吗？ 反证法证明过程：否定结论——推理论证——导出矛盾——肯定结论. 直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言： 符号语言： ，⊥∥ 例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； ∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小. 如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1， BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 又∵∠A1OB＝90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 延伸探究　例3条件不变，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a. 因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1， B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1， 所以A1B1⊥BC1. 又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1DCB1， 所以BC1⊥平面A1DCB1， 所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. 所以∠BA1O＝30°， 所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 跟踪训练3　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值. 由题意知，A是M在平面ABC上的射影， ∴MA⊥平面ABC， ∴MC在平面ABC上的射影为AC. ∴∠MCA即为直线MC与平面ABC所成的角. 又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， 例4　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 跟踪训练4　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. ∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l. 同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， ∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴a⊥平面PAB.∴a∥l. 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO