课时分层检测(31) 直线与平面垂直的性质-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（三十一） 直线与平面垂直的性质 :8.已知1，m是平面a外的两条不同直线.给出 0 基础达标练 下列三个论断：①l⊥m;②m∥a;③l⊥a. 1.直线l垂直于平面a,m二a,则有 ( 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论 A.l∥m B.1和m异面 断作为结论，写出一个正确的命题： C.1和m相交 D.1和m不平行 .(用序号表示) 2.在正方体ABCD-A1BCD1中，直线l(与直9.如图，在直三棱柱ABC 线BB1不重合)⊥平面A1C1,则 ) A1B1C中，AB⊥AC,D,E B A.B1B⊥I 分别为AA1,B1C的中点， B.B1B∥1 DE⊥平面BCC1B1. C.B1B与I异面但不垂直 求证：AB=AC. D.B1B与1相交但不垂直 3.(多选)下列命题正确的是 a∥b A →b⊥a aLa\a∥b B a⊥a b⊥a aLa\→b∥a cab a∥a\→ba D.a⊥b 4.如图，□ADEF的边AF⊥ 平面ABCD,且AF=2,CD =3,则CE= ( A.2 B.3 C.√5 D.√13 5.(多选)如图，ABCD是 矩形，沿对角线BD将 D/O △ABD折起到△A' A BD,且A'在平面BCD上的射影O恰好在 CD上，则下列结论正确的是 A.A'C⊥BD B.A'D⊥BC C.A'C⊥BC D.A'D⊥A'B 6.线段AB在平面a的同侧，A,B到a的距离： 分别为8和10，则AB的中点到a的距离为 7.一条与平面α相交的线段AB,其长度为 10cm,两端点A,B到平面a的距离分别是 3cm,2cm,则线段AB与平面a所成的角大： 小是 207 班级 姓名 得分 10.如图，△ABC为正三角形， 3.如图，在正方体ABCD D EC⊥平面ABC,DB⊥平面 A1B1C1D1中，有下列结论： ABC,CE=CA=2BD,M是 ①AC∥平面CB1D1;②AC EA的中点，N是EC的 ⊥平面CB1D1;③AC1与底 中点 求证：平面DMN∥平面ABC 面ABCD所成角的正切值是号，④AD,与 BD为异面直线.其中正确结论的序号是 :4.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD,四边 形ABCD是矩形，AE⊥PD 于点E,l⊥平面PCD. 求证：l∥AE. 5.已知四边形ABCD是矩形，过四个顶点作平面 a内的垂线，垂足分别为A',B',C,D,直线 …0能力提升练0… A'B与CD不重合，求证：四边形A'B'C'D是 1.已知直线l∩平面a=点O,A∈l,B∈l,A 平行四边形 a,B在a,且OA=AB.若AC⊥平面a,垂足为 C,BD⊥平面a,垂足为D,AC=1,则BD= A.2 B.1 c D.2 2.如图所示，已知矩形 ABCD中，AB=3,BC =a,若PA⊥平面AB CD,在BC边上取点E,B 使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时，a 的取值范围是 208∴在Rt△EOA中，sin∠AEO=AO=1 !8.①③→②（或②③→①）[若1La,1Lm,则m∥a,显然①③→②正 EA2 确；若lLm,n∥a,则l∥a,l与a相交但不垂直都可以，故①②→③ 0°∠AE090°」 不正确；若1⊥a,m∥a,则l垂直于a内所有直线，在a内必存在与m ∴.∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成的角为30°， 平行的直线，所以可推出1⊥n,故②③>①正确.] 1O,证明(I)由题意知AA1⊥平面ABC,CDC平面ABC,所以CD!9.证明取BC的中点F,连接EF,AF AA (2)因为D是AB的中，点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB· 则EF∥BB且EF=7BB. =90° 从而EF∥DA且EF=DA, 所以CD⊥AB.又CD⊥AA1,AB∩A1A=A,ABC平面A1BBA, 所以四边形ADEF为平行四边形， A1AC平面AB1BA, 所以AF∥DE. 所以CD⊥平面AB,BA 因为DE⊥平面BCCB1 因为AB1C平面A1B1BA,所以CD⊥AB1 所以AF⊥平面BCCB, 又CE⊥AB,CD∩CE=C,CDC平面CED,CEC平面CED,所以 所以AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线，故AB AB⊥平面CED. =AC. 能力提升练 :10.证明，因为M,N分别是EA与EC的中点，所以MN∥AC, 1.C 2.ABC 又因为ACC平面ABC,MN吐平面ABC, 3. ,SD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.SD⊥AC.·四边形 所以MN∥平面ABC. ABCD为正方形，∴.BD⊥AC,又SD∩BD=D,.ACL平面SBD,H 因为DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC, 且SBC平面SBD,∴.AC⊥SB,故①正确.AB∥CD,AB庄平面 所以BD∥EC,又BD≠EC SDC,CD二平面SDC,..AB∥平面SCD,故②正确.SD平面 所以四边形BDEC为直角梯形 ABCD,.SA在底面上的射影为AD,∴.SA与底面ABCD所成的 因为N为EC中点，EC-2BD, 角为∠SAD,③正确.AB∥CD,故④也正确. 所以NC LBD, 4.证明(1)取PD的中点E,连接NE,AE, 所以四边形BCVD为矩形 如图. A 又N是PC的中点， 所以DN∥BC, 又因为DN吐平面ABC,BCC平面ABC, NE∥DC且NE=zDC 所以DN∥平面ABC, 又因为MN∩DN=N, 又：DC∥AB且DC=AB,AM=AB, 所以平面DMN∥平面ABC. 能力提升练 ∴AM∥CD且AM=2CD, 1.A ∴.NE∥AM,且NE=AM. 2.(6,十∞)「由题意知PA⊥DE,又PE⊥DE,PA∩PE=P.所以 ,四边形AMNE是平行四边形， DE⊥平面PAE,则DELAE.易证△ABEC△ECD.设BE=x,则 E5APD.MNE辛面PAD. AB BE ，具上三少上，和3—，.2一ax牛9一0，()由题感方程（欢）■ a-x ∴.MN∥平面PAD. 有两个不相等的实根，故△=a一4×1×9>0，则a>6.] (2).PA⊥平面ABCD. 3.②③④[①因为AC∩平面CB,D,=C,所以AC与平面CB,D1不 .∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， 平行，故①错误；②连接BC1,A1C1(图略).易证AC1⊥BD1,AC1 ∴.∠PDA=45°，∴.AP=AD, BC,因为BD∩BC=B1,BD1C平面CBD1,BCC平面 ,E是PD的中点，.AE⊥PD CBD,所以AC⊥平面CBD,故②正确；③因为CC⊥底面ABCD, 又MN∥AE,∴.MN⊥PD. ,'PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以∠CAC是AC与底面ABCD所成的角，所以an∠CAC-A CC .PA⊥CD. 又.CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, .CD平面PAD. 巨，故③正确：④AD,与BD既无交点也不平行，所以AD与BD为 AEC平面PAD,.CD⊥AE, 异面直线，故④正确.门 .CD⊥MAN 4.证明因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD. 又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD, 又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD. ,.MN⊥平面PCD. 因为PA∩AD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD,所以CD⊥平 创新拓展练 面PAD. AC⊥B,C(答案不唯一)如图所示， 又AEC平面PAD,所以AE⊥CD. 因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PDC平面PCD,CDC平面PCD,所 以AE⊥平面PCD. 因为I⊥平面PCD,所以l∥AE 5.证明如图. 因为BB⊥a,CC⊥a, 所以BB∥CC B 因为CCC平面CCD'D, 连接B,C,由BC=CC,可得BC,⊥B,C.因此，要证AB,⊥BC,则i BB'吐平面CCD'D, 只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1.由直三棱柱可知， 所以BB'∥平面CCD'D. 只要证ACLBC,因为AC∥AC,B,C∥BC,故只要证AC⊥ 又因为四边形ABCD是矩形， B1C,(或者能推出AC1⊥BC1的条件，如∠A1CB=90等)] 所以AB∥CD, 课时分层检测（三十一） 又CDC平面CCD'D,AB吨平面CCD'D 所以AB∥平面CCD'D. 基础达标练 因为AB,BB是平面ABB'A'内的两条相交直线， 1.D 2.B 3.AB 4.D 5.BCD 所以平面ABB'A'∥平面CCD'D. 6.9[如图，设AB的中点为M,分别过A,M,B向 a作垂线，垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直 又a∩平面ABB'A'=A'B',a∩平面CCD'D=CD', 所以A'B'∥CD' 的性质可知，AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B 同理，BC∥A'D',所以四边形AB'CD'是平行四边形. 为直角梯形，AA1=8,BB1=10,MM1为其中位 线，.MM1-9. 课时分层检测（三十二） 7.30°[如图，作ACLa,BD⊥a,垂足分别为C,D, 基础达标练 则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面a交于CD,且CD与AB相：1.BD2.C3.B4.C5.ABC 交于O,AB=10cm,AC=3cm,BD=2cm,则AO=6cm,B0= 4cm,∴∠AOC-∠BOD=30°，即线段AB与平面a所成的角的大 :6.直角[设P在平面ABC上的射影为O,:平面PAB⊥底面ABC, 小为30°.1 平面PAB∩平面ABC=AB,∴.O∈AB.PA=PB=PC,.OA= OB=OC,,.O是△ABC的外心，且是AB的中，点，.△ABC是直角 三角形. !7.60°正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2√6，则底面边长 为2√3，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成 的二面角的正切值为√3，故所求的二面角为60°.] :8.DM⊥PC(或BM⊥PC等)「易知BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或 295