2024年中考数学几何模型必考点：03最值之费马点问题

最值之费马点问题 一、知识导航 费马点问题（Fermat problem）是一个著名的几何极值问题，由法国数学家费马提出。费马点是指在一个三角形中，求作一点，使得该点到三角形的三个顶点的距离之和最小。 关于费马点的求解，有以下几种情况： 1. 如果三角形的三个角均小于120°，那么费马点就是三角形的正等角中心，也就是三个内角的角平分线的交点。 2. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，那么费马点就是这个最大内角的顶点。 此外，费马点具有以下性质： 1. 费马点到三角形三个顶点的距离之和最小。 2. 以费马点为顶点，与三角形的三个顶点相连，所形成的三个夹角均为120°。 二、典例精析 一、方法突破 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等． 今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点． 问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小． 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等． 其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！ 若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点． 为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？ 考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形． △APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE． 以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE． 没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE， 显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE． 三、真题演练 1．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 2．若点是内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则点叫的费马点（）．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．问题：已知在中，若P为的费马点，，，，则的值为 ．    3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ． 4．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 5．【问题背景】在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵______，∴为等边三角形，∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 任务： （1）横线处填写的条件是______； （2）当点P是的“费马点”时，______； （3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______． 6．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由，可知为①三角形，故，又，故， 由②可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有③； 已知当有一个