9.1.1 正弦定理（3知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

9.1.1 正弦定理 课程标准 学习目标 （1）结合实例，了解已知两边和夹角的三角形的面积公式的推理过程，掌握三角形面积公式的应用； （2）了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形； （3）探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角形问题。 （1）通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养； （2）借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养。 知识点01 三角形的面积公式 1、三角形面积公式：在中，三个内角，，所对的边分别为，，，的面积为S，则，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 2、证明过程：证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则 当为钝角三角形时，作边长的高 则 ∴；当为直角三角形时，上述结论依然成立。 3、其他面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3） 【即学即练1】（23-24高一下·天津红桥·月考）在中， 已知， 则 . 知识点02 正弦定理 1、正弦定理的描述 （1）文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等； （2）符号语言：（2为外接圆直径） 2、正弦定理的特点 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 3、正弦定理的证明 当是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝. 4、正弦定理的推广及常用变形公式 在中，若内角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，则 （1），，； （2）； （3）（比例性质）； （4），，（可以实现边到角的转化）； （5），，（可以实现角到边的转化）。 5、三角形中的隐含条件 在中，已知内角，，所对的边分别为，，. （1），，，；. （2）（大边对大角）；. （3），；； （4）若三角形为锐角三角形， 【即学即练2】（23-24高一下·湖北武汉·月考）在中，其中三个内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中，则（    ） A．2∶3∶4 B．4∶9∶16 C．4∶3∶2 D．16∶9∶4 知识点03 解三角形 1、三角形的元素：把三角形的三个角与三条边都称为三角形的元素。 2、解三角形的定义：己知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。 3、利用正弦定理解三角形的类型 （1）已知两角一边，解三角形，有且只有一解； （2）已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有两解、一解或无解。 【即学即练3】（23-24高一下·山东滨州·月考）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型一：利用正弦定理解三角形】 例1．（23-24高一下·浙江·月考）在中，，且（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高一下·河北沧州·月考）在中，内角所对的边分别为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 变式1-2．（23-24高一下·宁夏银川·月考）在中，，则角（    ） A． B．或 C． D．或 变式1-3．（23-24高一下·湖南长沙·月考）在中，，，则角A的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 变式1-4．（23-24高一下·广东惠州·月考）中，角，，的对边分别是，，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路： （1）由三角形的内角和定理求出第三个角； （2）由正弦定理公式的变形求另外的两条边。 注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值（这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°=45°+30°），再根据上述思路求解。 2、已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论. 【题型二：判断三角形解的个数】 例2．（23-24高一下·河北沧州·月考）（多选）在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（    ） A． B