9.1.2 余弦定理（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

9.1.2 余弦定理 课程标准 学习目标 （1）借助平面向量的数量积，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程； （2）掌握余弦定理及其推论 （3）能用余弦定理解三角形，并能判断三角形的形状. （1）掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题； （2）能应用余弦定理判断三角形形状； （3）能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问题。 知识点01 余弦定理 1、余弦定理的描述 （1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 （2）符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2、余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、余弦定理的证明：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为，∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 4、余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 【即学即练1】（23-24高一下·山东济南·月考）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 余弦定理在解三角形中的应用 1、已知三角形的三边解三角形 （1）连续用余弦定理求出两角； （2）由三角形内角和定理求出第三个角。 2、已知两边和它们的夹角解三角形 （1）用余弦定理求出第三边； （2）用余弦定理或正弦定理求出第二个角； （3）由三角形内角和定理求出第三个角. 3、已知两边及其中一边的对角解三角形 利用余弦定理。例如，已知a，b及角A，可以根据余弦定理列出以边c为未知数的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出其他元素. 【即学即练2】（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 【题型一：已知两边及一角解三角形】 例1．（23-24高一下·山西大同·月考）已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A．2 B． C． D．1 变式1-1．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知在三角形中，，且，则角所对边的长度为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（2024·重庆·模拟预测）中，，，，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 变式1-3．（2024·四川成都·二模）在中，，则（    ） A． B． C． D．7 变式1-4．（23-24高一下·陕西西安·月考）（多选）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； 【题型二：已知三边解三角形】 例2．（23-24高一下·江苏徐州·月考）在中，，，，则的面积为 . 变式2-1．（23-24高二上·四川成都·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24高一下·重庆·月考）在中，，则的最大角与最小角的和是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高一下·甘肃武威·月考）在中，内角所对的边分别为，若，则其最大角为（    ） A． B． C． D． 变式2-4．（22-23高一下·浙江嘉兴·月考）在中，，则中最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 已知三角形的三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 【题型三：判断三角形的形状】 例3．（22-23高一下·浙江金华·月考）若的三个内角满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 变式3-1．（23-24高一下·安徽合肥·月考）在中，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 变式3-2．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 变式3-3．（23-24高一下·山东聊城·月考）在中，，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形