9.2 正弦定理与余弦定理的应用（2知识点+4题型+强化训练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课程标准 学习目标 （1）结合实例，理解测量不便到达的两点之间的距离的方案，掌握正、余弦定理在测量高度方面的应用； （2）掌握数学建模的应用，理解正、余弦定理在测量距离与角度等方面的应用。 （1）会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，理清利用解斜三角形可解决的各类应用问题及基本图形和基本等量关系； （2）能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题。 知识点01 实际测量中的有关名词、术语 1、基线 （1）定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 （2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。 2、仰角与俯角： （1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 3、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 4、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 5、坡角与坡度（坡比）： （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数； （2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度与水平宽度的比值。 【即学即练1】（23-24高一·全国·练习）在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是，且到A的距离为2，C点的俯角为，且到A的距离为3，则B、C间的距离为（ ） A． B． C． D． 知识点02 正弦定理和余弦定理的应用 1、测量距离与高度问题的常见类型 （1）测量距离问题：主要是指水平面上两个位置A，B不能直接到达，从而利用手中的工具，通过测量有关数据，构造三角形，应用正弦定理、余弦定理解决。例如当AB的长度不可直接测量时，AB的距离的求法分为以下三类. 两点间不可达又不可视 两点间可视但不可达 两点间都不可达 （2）测量高度问题：在测量底部不可到达的建筑物的高度时，可以借助正弦定理或余弦定理，构造两角（两个仰角或两个俯角）和一边或三角（两个方向角和仰角）和一边，如图所示． 2、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。 3、解三角形应用题的一般步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 【即学即练2】（23-24高一下·全国·专题练习）（多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能确定A，B间距离的方案可以是（　　） A．测量A，B，b B．测量a，b，C C．测量A，B，a D．测量A，B，C 【题型一：测量距离问题】 例1．（23-24高一下·山东泰安·月考）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（22-23高一下·广东东莞·月考）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）某次军事演习中，炮台向北偏东方向发射炮弹，炮台向北偏西方向发射炮弹，两炮台均命中外的同一目标，则两炮台在东西方向上的距离为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24高一上·江苏无锡·月考）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里． 变式1-4．（23-24高一下·云南红河·月考）为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 【方法技巧与总结】 三角形中与距离有关的问题的求解策略： （1）解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余