微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究 【秒杀总结】 1、三角形面积问题 模型一：基本方法 模型二：分割三角形 模型三：三角形面积坐标表示 模型四（面积比）： “等角”“共角”“对顶角” 蝴蝶模型 蝉模型 2、四边形面积问题 模型一 模型二 模型三 3、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 4、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【典型例题】 例1．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． (1)求椭圆的方程； (2)直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 例2．（2024·高三·江苏·专题练习）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点. (1)求证：. (2)求的面积的取值范围. 例3．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0． (1)证明是一个双曲线并求其离心率； (2)设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：； (3)设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由． 例4．（2024·天津·一模）已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍， (1)求椭圆的方程； (2)点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，求的值. 例5．（2024·山东青岛·一模）已知O为坐标原点，点W为：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E． ①证明：G，E，H三点共线； ②若，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值． 例6．（2024·高三·河南·阶段练习）已知是抛物线上任意一点，且到的焦点的最短距离为.直线与交于两点，与抛物线交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限. (1)求抛物线的方程. (2)证明： (3)设的面积分别为，其中为坐标原点，若，求. 例7．（2024·陕西西安·一模）已知椭圆的短轴长等于焦距，且过点 (1)求椭圆的方程； (2)为直线上一动点，记椭圆的上下顶点为，直线分别交椭圆于点，当与的面积之比为时，求直线的斜率. 例8．（2024·云南昆明·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限内，满足. (1)求的平分线所在的直线的方程； (2)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由； (3)已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线与椭圆相交于，若四边形的面积最大时，求双曲线的标准方程. 例9．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围. 【过关测试】 1．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）. (1)求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值； (2)过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值. 2．（2024·河南·一模）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线相切． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限，且，过分别作直线的垂线，垂足分别为，求四边形面积的最小值． 3．（2024·辽宁·一模）已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：为直角三角形； (3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 4．（2024·云南红河·二模）已知抛物线的焦点到准线的距离为，为坐标原点，是上异于的不同的两点，且满足，点为外接