微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题19 圆锥曲线经典难题之一类定点、定值问题的通性通法研究 【秒杀总结】 1、直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程； ④根据直线过定点的求解方法可求得结果. 2、定比点差法 3、非对称韦达与对称韦达 4、先猜后证 5、硬解坐标 【典型例题】 例1．（2024·陕西榆林·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为过点，且的长轴长为8. (1)求的方程. (2)设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 例2．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． (1)求椭圆的方程； (2)直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 例3．（2024·四川广安·二模）在直角坐标系中，设为抛物线（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1. (1)求的方程； (2)当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足.证明直线是恒过定点，并求出定点坐标. 例4．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知椭圆，点是椭圆中心与该椭圆一个顶点的中点，点为椭圆与轴正半轴的顶点，且离心率为，过点的直线（与轴不重合）交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程，并求面积的最大值； (2)探究直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出这个值，若不是请说明理由； (3)若圆的方程为，直线，分别交圆于，两点，试证明：直线恒过定点． 例5．（2024·河南·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，其长轴长为6，离心率为e且，点D为E上一动点，的面积的最大值为，过的直线，分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线的垂线，垂足为H. (1)求椭圆E的方程； (2)问：平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由. 例6．（2024·全国·一模）已知椭圆的离心率是，点Q在椭圆上，且，． (1)求椭圆C的方程； (2)如图，设椭圆C的上、下顶点分别为，，P为该椭圆上异于，的任一点，直线，分别交x轴于M，N两点，若直线OT与经过M，N两点的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值． 例7．（2024·湖南衡阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，的周长为8． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值． 例8．（2024·高三·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于M，N两点在第一象限）. (1)当时，求直线的方程; (2)若三角形OMN的外接圆与曲线交于点（异于点O，M，N）， （i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值; （ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围. 例9．（2024·宁夏银川·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，左顶点为A，则上顶点为，且的方程为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若是直线上一点，过点的两条不同直线分别交于点，和点，，且，求证：直线的斜率与直线的斜率之和为定值. 【过关测试】 1．（2024·广东湛江·一模）已知为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右顶点，且直线与的斜率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足. (1)求的方程； (2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点. 3．（2024·天津·一模）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一动点，且直线，分别与椭圆交于，两点（异于，两点），证明：直线恒过一定点. 4．（2024·河南郑州·二模）已知椭圆E：过点，且焦距为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N. ①证明：直线MN必过定点； ②若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值. 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知椭圆的焦距为6，圆9与椭圆C有且仅有两个公共点 (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点F，且与椭圆