微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究 【秒杀总结】 交点轨迹问题的常用技巧： 1、两直线方程相乘消元 2、两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元 3、定比点差法 4、同构 5、硬解坐标 【典型例题】 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 例2．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线. (1)证明：，的交点在直线上; (2)求直线围成的三角形面积的最小值. 例3．（2024·山东济南·一模）已知双曲线C：的左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)若直线的斜率k存在，求k的取值范围； (2)记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)设G为直线与直线的交点，，的面积分别为，，求的最小值. 例4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知双曲线的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为，离心率为， (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的右支上异于点的动点，直线与直线相交于点，直线与双曲线的另一个交点为，直线垂直于点，问是否存在点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由， 例5．（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 例6．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线； (3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由. 例7．（2024·广西南宁·一模）已知点和圆为圆上的一动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知点，若曲线与轴的左、右交点分别为，过点的直线与曲线交于两点，直线相交于点，问：是否存在一点，使得取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 例8．（2024·高三·上海·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点. (1)若，求点M的横坐标； (2)证明：直线过定点； (3)设G为直线与直线的交点，求面积的最小值. 例9．（2024·高三·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在抛物线上. (1)求的准线方程. (2)已知点，，是的两条切线，，是切点，圆经过点，，. ①若，求证：； ②设圆在，处的切线的交点为，求证：直线过定点. 附：若点在圆上，则圆在点处的切线方程为. 【过关测试】 1．（2024·高三·福建福州·期末）已知圆锥曲线C的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过点与点． (1)求曲线C的方程； (2)已知T为直线上的动点（T不在x轴上），A，B为曲线C与x轴的交点，直线与曲线C相交的另一点为M，直线与曲线C相交的另一点为N，记和的面积分别为，若，求直线的方程． 2．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知矩形中，分别是矩形四条边的中点，以矩形中心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线上的动点满足.    (1)求直线与直线交点的轨迹方程； (2)当时，过点的直线（与轴不重合）和点轨迹交于两点，过点作直线的垂线，垂足为点.设直线与轴交于点，求面积的最大值. 3．（2024·贵州贵阳·一模）已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点. 4．（2024·高三·江苏镇江·开学考试）已知双曲线的两条渐近线分别为上一点到的距离之积为． (1)求双曲线的方程； (2)