微专题16 立体几何经典题型精练-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题16 立体几何经典题型精练 【典型例题】 例1．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面. (1)求证：平面平面； (2)若点为的中点，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 例2．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，，为侧棱上一点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离． 例3．（2024·高三·全国·专题练习）在棱长为2的正方体中，E、F分别是BC、CD的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点G、H分别为线段上的动点，点P为底面上的动点，求的最小值． 例4．（2024·天津·一模）如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 例5．（2024·辽宁·一模）如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，G分别为线段，的中点，且底面 为正方形. (1)求证:平面 平面 (2)若与底面不垂直，直线 与平面所成角为 且 求点 A 到平面 的距离. 例6．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知三棱柱，其中，，点是的中点，连接，，异面直线和所成角记为．    (1)若，求三棱柱外接球的表面积； (2)若，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，求该截面面积． 例7．（2024·高一·浙江绍兴·期末）如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. (1)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围； (2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 例8．（2024·高三·重庆·阶段练习）如图所示，已知在四棱柱中，所有的棱长均为2，侧面底面为的中点，为棱上的动点（含端点），过三点的截面记为平面.    (1)是否存在点使得底面？请说明理由； (2)当平面与平面所成二面角的余弦值为时，试求平面截得四棱柱两部分几何体的体积之比（体积小的部分作比值的分子）. 例9．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度. 【过关测试】 1．（2024·高三·浙江宁波·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，. (1)证明：平面平面； (2)若与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 2．（2024·辽宁·一模）如图，在三棱柱中，平面是线段上的一个动点，分别是线段的中点，记平面与平面的交线为. (1)求证：； (2)当二面角的大小为时，求. 3．（2024·河北唐山·一模）如图，三棱柱中，侧面为矩形，底面ABC为等边三角形． (1)证明：； (2)若，， ①证明：平面平面ABC； ②求平面ABC与平面的夹角的余弦值． 4．（2024·广东江门·一模）如图，四边形是圆柱底面的内接矩形，是圆柱的母线.      (1)证明：在侧棱上存在点，使平面； (2)在（1）的条件下，设二面角为，，，求三棱锥的体积. 5．（2024·山东烟台·一模）如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.    (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值. 6．（2024·陕西咸阳·二模）在几何体中，底面是边长为2的正三角形．平面，若． (1)求证：平面平面； (2)是否在线段上存在一点，使得二面角的大小为．若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 7．（2024·高三·全国·专题练习）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点． (1)求证：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值． 8．（2024·江西九江·二模）如图，三棱锥中，平面，，，，点满足，.    (1)证明：平面平面； (2)点在上，且，求直线与平面所成角的正弦值. 9．（2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点. (1)①若，求； ②证明：. (2)记的面积为，证明：； (3)问：的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的