微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题 【秒杀总结】 1、立体图形中的截面问题： （1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积. 2、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得关于平面的对称点，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 3、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解. 【典型例题】 例1．（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为，它们的体积之和为，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·高三·全国·专题练习）如图，长方体中，，，M为的中点，过作长方体的截面交棱于N，下列正确的是（    ） ①截面可能为六边形 ②存在点N，使得截面 ③若截面为平行四边形，则 ④当N与C重合时，截面面积为 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 例3．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D．1 例4．（2024·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 例5．（2024·陕西西安·一模）如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（    ）    ①在中点时，平面平面 ②异面直线所成角的余弦值为 ③在同一个球面上 ④，则点轨迹长度为 A．0 B．1 C．2 D．3 例6．（多选题）（2024·高二·湖南长沙·开学考试）在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是（    ） A．当平面时，不可能垂直 B．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C．当时，的最小值为 D．当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为 例7．（多选题）（2024·河南·三模）已知正方体的棱长为2，，，，.点P是棱上的一个动点，则（    ） A．当且仅当时，平面DMN B．当，时，平面 C．当时，的最小值为 D．当时，过B，M，N三点的截面是五边形 例8．（多选题）（2024·广西柳州·三模）正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当，时，与平面所成角为 B．当时，有且仅有一个点，使得 C．当，时，平面平面 D．若，则点的轨迹长度为 例9．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（    ） A．无论M，N在何位置，为异面直线 B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP与平面所成角的正弦最大值为 例10．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），以下正确的是    ①； ②存在点，使得//面； ③的最小值为； ④存在点，使得与面所成线面角的余弦值为. 例11．（2024·高三·北京房山·期末）如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点.给出下列结论： ①； ②平面； ③直线与直线所成角的范围是； ④点到平面的距离是. 其中所有正确结论的序号是 . 例12．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知正方体，棱长为2. (1)求证：平面； (2)若平面平面，且平面与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值； (3)在（2）的情形下，设平面与正方体的棱、、交于点、、，当截面的面积最大时，求二面角的余弦值. 【过关测试】 1．（2024·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B．