微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题14 导数解答题之函数型数列不等式问题 【秒杀总结】 1、分析通项法：由于左边是一个求和(积)形式的表达式，右边是一个简单的式子，为了使得两者能够明显地显现出大小特征，有必要将两者统一成同一种形式，此处有两条路可走，一种是将左边的和式收拢，一种是将右边的式子分解.很明显，左边是无法收找的，因此需要将右边进行拆分，而拆分的原则就是和左边配对.假设右边，这样一来，相当于已知一个数列的前项之和，求，利用数列的知识可知.所以，接下来只需要证明即可. 2、几种常见的数列放缩方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） ； （10） ； （11） ； （12）； （13）. 3、根据不等式的信息，利用题目的结论，得出不等式，然后对变量取合适的数据，再用数列求和法而得解. 【典型例题】 例1．（2024·河南·一模）已知函数，，. (1)判断是否对恒成立，并给出理由； (2)证明： ①当时，； ②当，时，. 例2．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：. (1)求曲线在处的切线斜率； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围： (3)（i）证明：当时，； （ii）证明：. 例3．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． (1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明； (3)设，证明：． 例4．（2024·天津·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 例5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数． (1)判断函数的单调性 (2)证明：①当时，； ②. 例6．（2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且． (1)证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，证明：当时，． 例7．（2024·陕西西安·一模）已知函数. (1)若函数的图像在处的切线与直线垂直，求的值并求函数的极值； (2)若恒成立，求证：对任意正整数，都有. 例8．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用. (1)，，矩阵，求使的的最小值. (2)，，，矩阵求. (3)矩阵，证明：，，. 例9．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)证明：（，）； (3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 【过关测试】 1．（2024·山东济宁·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立； (3)设，，数列的前项和为．证明：． 2．（2024·甘肃陇南·一模）已知函数 (1)讨论 的单调性. (2)证明:当时, (3)证明: 3．（2024·云南昆明·一模）已知函数． (1)若，求实数的值； (2)证明：当时，； (3)证明：． 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求实数的值； (2)证明：． 5．（2024·高三·重庆·开学考试）如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积． (1)若，且，求； (2)已知，证明：，并解释其几何意义； (3)证明：，． 6．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式 伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立． (1)猜想伯努利不等式等号成立的条件； (2)当时，对伯努利不等式进行证明； (3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明 7．（2024·四川德阳·模拟预测）（）. (1)当时，证明：； (2)证明：. 8．（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为1. (1)求的表达