微专题13 导数解答题之双变量问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题13 导数解答题之双变量问题 【秒杀总结】 1、破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果； 四是主元法. 【典型例题】 例1．（2024·浙江温州·二模）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件： ①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧； ②圆与曲线在点处有相同的切线； ③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）； 则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径． (1)求抛物线在原点的曲率圆的方程； (2)求曲线的曲率半径的最小值； (3)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：． 例2．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 例3．（2024·四川·一模）已知函数． (1)若，求的最小值； (2)若有2个零点，证明：． 例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 例5．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知函数. (1)若是函数的一个极值点，求实数的值； (2)若函数有两个极值点，其中， ①求实数的取值范围； ②若不等式恒成立，求实数的取值范围. 例6．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若有2个极值点，求证：. 例7．（2024·高三·湖南·开学考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：． 例8．（2024·高三·河南周口·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：. 例9．（2024·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【过关测试】 1．（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 2．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，其中. (1)当时，求的极值； (2)当，时，证明：. 3．（2024·广东湛江·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 4．（2024·广东·模拟预测）已知． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且 (3)在（2）的条件下，证明：． 5．（2024·天津和平·一模）已知函数，（为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间： (2)设在处的切线方程为，求证：当时，； (3)若，存在，使得，且，求证：当时，. 6．（2024·天津·一模）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 7．（2024·青海·一模）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个零点，，证明：． 8．（2024·全国·一模）已知 (1)若，求实数的取值范围； (2)设是的两个零点（），求证：①；②. 9．（2024·吉林延边·一模）已知有两个极值点． (1)求实数a的取值范围； (2)证明：． 10．（2024·辽宁大连·一模）已知函数的定义域为区间值域为区间，若则称是的缩域函数. (1)若是区间的缩域函数，求a的取值范围； (2)设为正数，且若是区间的缩域函数，证明： （i）当时，在单调递减; （ii） 11．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数，且的极值点为. (1)求； (2)证明：； (3)若函数有两个不同的零点，证明：. 12．（2024·高三·河北·开学考试）已知函数 (1)若、在处切线的斜率相等，求的值； (2)若方有两个实数根，试证明：; (3)若方程有两个实数根，试证明：. 13．（2024·四川凉山·二模）已知函数． (1)若函数在R上是增函数，求a的取值范围； (2)设，若，证明：． 14．（2024·高三·江苏·专题练习）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 15．（2024·江西上饶·一模）已知函数，若为实数，且方程有两个不同的实数根． (1)求的取值范围： (2)①证明：对任意的都有； ②求证：． 16．（2024·高三·新疆伊犁·阶段练习）已知，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，设的导函数