微专题10导数解答题之零点问题-2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

微专题10导数解答题之零点问题 【秒杀总结】 1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围． 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数． 【典型例题】 例1．（2024·河南·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 例2．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为. (1)求的值； (2)判断函数的零点个数. 例3．（2024·高三·四川雅安·开学考试）已知函数． (1)若，当时，证明：． (2)若，证明：恰有一个零点． 例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求的取值范围. 例5．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数. (1)判断的单调性； (2)当时，求函数的零点个数. 例6．（2024·广东·模拟预测）已知． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且 (3)在（2）的条件下，证明：． 例7．（2024·江苏·模拟预测）已知函数，其中，为自然对数的底数． (1)函数，求的最小值； (2)若为函数的两个零点，证明：． 例8．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数. (1)若，讨论的零点个数； (2)若是函数（为的导函数）的两个不同的零点，且，求证：. 【过关测试】 1．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则. 2．（2024·青海·一模）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个零点，，证明：． 3．（2024·河北·一模）已知函数． (1)若函数有3个不同的零点，求a的取值范围； (2)已知为函数的导函数，在上有极小值0，对于某点，在P点的切线方程为，若对于，都有，则称P为好点． ①求a的值； ②求所有的好点． 4．（2024·全国·一模）已知 (1)若，求实数的取值范围； (2)设是的两个零点（），求证：①；②. 5．（2024·北京门头沟·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)当时，判断零点个数，并说明理由． 6．（2024·山东潍坊·一模）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)证明：（，）； (3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围． 7．（2024·高三·江西·开学考试）已知函数，且的极值点为. (1)求； (2)证明：； (3)若函数有两个不同的零点，证明：. 8．（2024·山西·一模）已知，且，函数. (1)记为数列的前项和.证明：当时，； (2)若，证明：； (3)若有3个零点，求实数的取值范围. 9．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数 (1)若和的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求值； (2)求证：当时，的图象恒在的图象的上方； (3)令，若有2个零点，试证明 10．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知是函数的两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）是的导函数．证明：． 11．（2024·北京丰台·一模）已知函数，曲线在点处的切线为，记． (1)当时，求切线的方程； (2)在（1）的条件下，求函数的零点并证明； (3)当时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明） 12．（2024·江西赣州·一模）已知函数. (1)求的单调区间， (2)已如.若函数有唯一的零点.证明，. 13．（2024·山东聊城·一模）已知函数，，. (1)求的单调递增区间； (2)求的最小值； (3)设，讨论函数的零点个数. 14．（2024·内蒙古包头·一模）设函数． (1)当时，讨论的单调性，并证明； (2)证明：①当时，； ②当时，，当时，； ③当时，函数存在唯一的零点． 15．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数. (1)若在上为“凸函数”，求的取值范围； (2)若，判断在区间上的零点个数. 16．（2024·高三·广东广州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的极值； (2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，） 17．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知函数．（注：是自然对数的底数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点． ①求实数a的取值范围； ②求证：在区间内有唯一的零点，且． 18