专题训练（三）“三线合一”的应用- 【一飞冲天】2023-2024学年八年级上册数学课时作业（人教版）

课时作业八年级上册数学 一冲天 专题训练（三）“三线合一”的应用 1.如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边，5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,点P 那么这个三角形一定是 ( 是AD上的一点，且PE⊥AB,PF⊥AC,垂足 A.等腰三角形 B.锐角三角形 分别为点E、F. C.直角三角形 D.钝角角形 求证：PE=PF. 2.如图，在△ABC中，AD上BC于点D,请你再 添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角 形，你添加的条件是 3.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, AE⊥CD,垂足为点D,延长AD交BC于点 E,∠B=∠BAE,若BC=5,AC=3,则AD的 6.如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C,AD为BC 长为 边上的高 求证：DC=AB十BD. A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点O在△ABC 内，OB=OC 求证：AO⊥BC. 一冲天 第十三章 轴对林国 7.已知在△ABC中，AD平分∠BAC,BD=CD. 9.小明在学完“等腰三角形的顶角平分线、底边 求证：△ABC为等腰三角形. 上的中线，底边上的高相互重合”的性质后，得 到如下三个猜想： (1)如果一个三角形一边的中线和这条边上的 高相互重合，则这个三角形是等腰三角形： (2)如果一个三角形一边的高和这条边所对的 角的平分线相互重合，则这个三角形是等 腰三角形： (3)如果一个三角形一边的中线和这条边所对 的角的平分线相互重合，则这个三角形是 等腰三角形 我们运用线段垂直平分线的性质，容易证明猜 想(1)的正确性.现请你帮助小明判断他的猜 想(2)、(3)是否成立？若成立，请结合图形，写 出已知、求证和证明过程：若不成立，请举反例 说明， 8.如图，五边形ABCDE中AB=AE,BC=DE, ∠ABC=∠AED,点F是CD的中点. 求证：AF⊥CD, 冲天 ※一冲天 参考答景 参考答案 专题训练（三） .△ABC2△AED(SAS),.AC-AD, :点F是CD的中点，∴AF⊥CD “三线合一”的应用 9.解：(2)、(3)都成立 1.A2.BD-CD或∠BAD-∠CAD(答案不唯一) (2)已知在△ABC中，AD⊥BC,AD平分∠BAC, 3.A 求证：AB=AC 4.证明：如图，延长AO交BC于点D, 证明：：AD⊥BC,AD平分∠BAC, .∠ADB=∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD. .AB=AC.OB=OC.OA=OA. 在△CAD和△BAD巾， ,'.△ABO≌△ACO(SSS). '∠CAD=∠BAD ∴.∠BAO-∠CAO, AD-AD 即∠BAID=∠CAD, ∠ADC-∠ADB .AD⊥BC,即AOLBC. ∴.△CAD≌△BAD(ASA).∴.AB=AC: 5.证明：：AB=AC,AD⊥BC, (3)已知在△ABC中，CD=BD,AD .AD为∠BAC平分线， 平分∠BAC, :P为AD上一点， 求证：AB=AC HPE⊥AB,PF⊥AC 证明：作DE⊥AB.DF⊥AC,垂足分 ..PE=PF. 别为E、F, 6.证明：如图，在DC边上取点G, AD平分∠BAC,DE=DF, 使DG=BD,连接AG, D 在Rt△CFD和Rt△BED中， ,AD⊥BG,BD-DG. CD=BD .AB=AG(三线合一)， G FD-ED ∠B=∠1， 又：∠1-∠2+∠C,∠B-2∠C, ∴.Rt△CFD2Rt△BED(HL), ∴∠2=∠C,∴.CG=AG, ∠B=∠C,.AB=AC ∴.G=AB. DC=DG+CG. ∴.D=AB+BD. 7.证明：如图，作DE⊥AB于E,DF⊥ AC于F, ,AD为∠BAC的平分线， ∴DE=DF 在R1△DEB和R1△DFC中， DB-DC DE=DF' .R1△DEB≌Rt△DFC'(HL)..∠B=∠C. “.AB-AC,∴.△ABC是等腰三角形 8.证明：连接AC、AD, 在△ABC和△AED中， (AB-AE, ∠ABC=∠AED, BC=ED,