精品解析：湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一阶段考试数学试卷

周南中学2024年上学期高二年级第一阶段考试数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：张颖 李宇纤；审题人：越做奖 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 如果随机变量，且，，则等于 A. B. C. D. 4. 已知函数，则函数满足 A. 最小正周期为 B. 图象关于点对称 C. 在区间上为减函数 D. 图象关于直线对称 5. 某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ） A 1080 B. 480 C. 1560 D. 300 6. 已知向量，若，则与夹角为 A. B. C. D. 7. 过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ） A. B. ． C. D. 8. 已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对部分给分，选错得0分． 9. 已知为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,则下列说法正确的是 A. 若且则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. D. 外接圆的面积为 11. 如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（ ） A. 双曲线离心率为 B. 与面积之比为 C. 与周长之比为 D. 与内切圆半径之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量 服从正态分布，若，则______． 13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 14. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图所示，从抛物线的焦点向轴上方发出的两条光线分别经抛物线上的两点反射，已知两条入射光线与轴所成角均为，且，则两条反射光线之间的距离为______． 四、解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项. （1）求的通项公式； （2）设数列满足，且的前项和为，求证. 16. 如图，在长方体中，，点在棱上移动． （1）证明：； （2）若，求平面和平面所成角的大小． 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 18. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 19. 某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率． （1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列及数学期望； （2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复． （ⅰ）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ⅱ）求甲第天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周南中学2024年上学期高二年级第一阶段考试数学试卷 考试时间：1