精品解析：湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

南雅中学2024年上期第一次月考试题 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人：李昌达 审题人：黄知清、邓佩君 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则（ ） A. 1 B. 4 C. D. 3. 已知抛物线上一点横坐标为4，则点到焦点的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 4. 若复数，则下列说法错误的是（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 对应的点在复平面第四象限 5. 已知与是两个事件，，则（ ） A 0.18 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 6. 从4个男生和4个女生中挑选3个人组成小组参加歌唱比赛，要求至少2个女生参与，则不同的小组组成方式有（ ）种 A. 20 B. 28 C. 36 D. 44 7. 截角四面体可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示为一个正四面体，作平行于各个面的截面截角得到一个所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若对于都有成立，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组不全相等的样本数据，由生成一组新的样本数据，则新数据与原数据中可能相等的量有（ ） A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 10. 连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为，记，事件为“”，事件为“”，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 事件与事件互为独立事件 11. 对于式子，以下判断正确的有（ ） A. 存在，使得展开式中没有常数项 B. 对任意，展开式中有常数项 C. 存在，使得展开式中有的一次项 D. 对任意，展开式中没有的一次项 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知正项等差数列的前项和为，则_________. 13. 如图是一组数据的散点图，经最小二乘估计公式计算，与之间的线性回归方程为，则______． 14. 已知圆，圆，过上一点作的切线与交于不同两点，，点的坐标为，则的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求函数极值. 16. 在中，角所对的边分别为记的面积为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的最大值. 17. 为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图： （1）试根据频率分布直方图，求的值以及样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算）． （i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时车辆数（精确到个位）； （ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望． 附注：若，则，． 18. 已知椭圆经过四个点中的三个． （1）求椭圆方程与离心率； （2）过点的直线与线段（不含端点）交于点，与椭圆交于点， （i）若，求直线的斜率； （ii）若，求直线的斜率． 19. 某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球．设顾客停止取球时，取过的小球次数为， （1）求； （2）设，数列，求的通项公式； （3）顾客停止取球时，取过的小球次数为，顾客可以获得对应的元奖金，其中，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南雅中学2024年上期第一次月考试题 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人：李昌达 审题人：黄知清、邓佩君 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 集合，集合，则（