精品解析：海南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

海师附中2025—2026学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. 16 B. 30 C. 34 D. 64 2. 一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 函数 的导函数的图象如图所示，给出下列命题： ①是函数的极值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上单调递增； ④在处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 4. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 5. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 7. 甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 以下结论正确的是（ ） A. 从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法． B. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为480 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. = C. = D. = 11. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，那么________； 13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 14. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列是等差数列，前项和为，满足首项与公差相等，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列 的前项和. 16. 已知的展开式中各二项式系数的和为64. （1）求展开式中第4项的二项式系数； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中各项系数的和. 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数在处有极大值，求的值. 18. 某资格证考试，考生一年之内最多有4次考试机会．一旦连续2次考试通过，便可以领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完4次机会．若第3次考试不通过，则无需参加第4次考试．某考生决定参加考试，如果他每次通过考试的概率分别为，，，，且每次考试是否通过相互独立． （1）求该考生参加3次考试就领取资格证书的概率． （2）求该考生在一年之内参加考试的次数X的分布列及均值． （3）求该考生在一年之内领取资格证书的概率． 19. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海师附中2025—2026学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. 16 B. 30 C. 34 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程，求得，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，可得，解得，所以， 所以. 故选：A. 2. 一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算公式，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 3. 函数 的导函数的图象如图所示，给出下列命题： ①是函数的极值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上单调递增； ④在处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是（　　） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，故③正确； 则是函数的极小值点，故①正确； 在上单调递增， 不是函数的最小值点，故②不正确； 函数在处的导数大于， 切线的斜率大于零，故④不正确． 故选：C． 4. 已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】由分布列的性质概率之和为1，再由，得到的两个方程，求解即得. 【详解】由分布列的性质，可得，即， 因为，所以，即， 解得，. 故选：C． 5. 已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（ ） A. 22.5% B. 30% C. 40% D. 45% 【答案】C 【解析】 【详解】设事件“抽到的学生喜欢文学阅读”，事件“抽到的学生喜欢科普阅读”， 由题意，， . 6. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 7. 甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用捆绑法和插空法列式求解即可. 【详解】先将乙和丙看成一个人与丁，戊，戌排列，有种排法， 再将甲插入这四个人中间的三个空位，有种排列方式， 最后考虑乙和丙的顺序有种方式， 故共有种排列方式. 故选：D. 8. 已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，构造函数，得到，得到关于的不等式，根据不等式存在性问题，将问题转换为在区间上的最大值；构造新函数，根据函数单调性判断其在上的最大值，进而得到的取值范围. 【详解】由，得. 令，则. ，即，得. 存在，使得成立，等价于存在，使得成立， 只需即可. 令，则. 当时，，则在上单调递增； 当时，取得最大值，即. ，即实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 以下结论正确的是（ ） A. 从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法． B. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为480 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据排列组合知识即可判断AB，根据基本初等函数的导数、复合函数的导数及乘积求导法则即可判断CD. 【详解】对于A，由题意知种，A错误. 对于B，先排2，4，5，6，有种排法，形成5个空位，选2个插入1和3，有种排法， 总数为个，B正确. 对于C，，C正确. 对于D，，D正确. 10. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. = C. = D. = 【答案】BCD 【解析】 【分析】由特殊值法将x取和1，可判断出选项B和D的正误，再结合二项式定理判断展开式各项系数的正负，可判断A和C的正误. 【详解】令，可得①， 故B正确； 令，可得②， 由①+②可得，所以， 故D正确； 由二项式定理可知，， 故， 故A错误； 的系数均为正数，的系数均为负数， 所以， 故C正确. 故选：BCD. 11. 深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（ ） A. 有且仅有一个零点 B. 在区间上不单调 C. 存在唯一极值点 D. 恒成立 【答案】ACD 【解析】 【详解】对A：因为恒成立， 所以当时，；当时，；当时，. 所以函数有且仅有一个零点，故A正确； 对B：因为， 当时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 对C：由B可得. 设，易知在上单调递增，且，， 所以存在，当时，. 当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增. 所以存在唯一极值点，故C正确； 对D：由C，， 且， 所以，因为，所以. 所以，故D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，那么________； 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去） 故答案为： 13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】16 【解析】 【分析】利用二项式定理，通过对展开式的通项讨论得出结果 【详解】考虑二项式展开式的通项为， 当时，该项为；当时，该项为； 因此展开式中项为， 所以展开式中的系数为16. 14. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算出切线方程后，可得方程有且仅有一解，再分与讨论即可得. 【详解】，则切线斜率， 则切线方程为，即， 则有且仅有一解， 即方程有且仅有一解， 若，则，符合题意； 若，则，即； 综上所述：的值为或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项数列是等差数列，前项和为，满足首项与公差相等，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列 的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据，，成等比数列且列式求解，然后利用等差数列通项公式求解即可. （2）利用等差数列求和公式求出，可得，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，， 由首项与公差相等，且，，成等比数列，所以， 所以，所以，解得， 所以，所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由，有， 所以， 可得 . 16. 已知的展开式中各二项式系数的和为64. （1）求展开式中第4项的二项式系数； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中各项系数的和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和为求出，再根据二项式系数的概念即可求出答案； （2）写出二项式展开式的通项公式，令，解出，代入即可求出答案； （3）令，代入即可求出答案. 【小问1详解】 的展开式中各二项式系数的和为， 解得， 所以展开式中第4项的二项式系数为. 【小问2详解】 的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 【小问3详解】 令，所以. 即展开式中各项系数的和为 17. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若函数在处有极大值，求的值. 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）6 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据即可求解； （2）利用导数研究的单调性，求出函数的极大值，建立关于c的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以. 令，解得，或. 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； 【小问2详解】 因为，定义域为. 所以. 当，即，或时，函数可能有极值. 由题意，当时，函数有极大值，所以. 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 因此，当时，有极大值，此时，所以. 18. 某资格证考试，考生一年之内最多有4次考试机会．一旦连续2次考试通过，便可以领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完4次机会．若第3次考试不通过，则无需参加第4次考试．某考生决定参加考试，如果他每次通过考试的概率分别为，，，，且每次考试是否通过相互独立． （1）求该考生参加3次考试就领取资格证书的概率． （2）求该考生在一年之内参加考试的次数X的分布列及均值． （3）求该考生在一年之内领取资格证书的概率． 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 2 3 4 P （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可. （2）判断X的可能取值并计算对应的概率，即可得到分布列，结合数学期望公式求解即可. （3）根据概率加法公式及概率乘法公式求解即可. 【小问1详解】 设表示第次考试通过的概率，则，，，， 设事件A：“该考生参加3次考试就领取资格证书”， 则， 故该考生参加3次考试就领取资格证书的概率为. 【小问2详解】 该考生在一年之内参加考试的次数X可能取值为2，3，4， ， ， ， 则X的分布列为： X 2 3 4 P . 【小问3详解】 设事件B：“该考生在一年之内领取资格证书”， 则 ， 该考生在一年之内领取资格证书的概率为. 19. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，证明：. 【答案】（1）证明：当时，，其定义域为，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，则， 所以当时，； （2）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 在上单调递减；当时，在上单调递增. （3）证明：证明：因为存在两个极值点， 由（2）知，且方程在上有两个解， 由韦达定理得， 则 ， 要证成立，只需证， 即证，由得， 不妨设，即证，即证， 令，即证， 设，，则， 函数在上递增，，所以成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，求得其最大值，即可得证； （2）求得，令，分和，结合导数的符号和二次函数的性质，即可求解； （3）由（2）知，且在上有两个解，得到，化简，转化证明，不妨设，即证，令，得到，设，，求得，结合函数的单调性和，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为， 且， 令，， （ⅰ）当时，由（1）得在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，为开口向上的二次函数，对称轴为， 由，且， ①当时，，可得在上恒成立， 所以在上单调递增； ②当时，，令，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 在上单调递减；当时，在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $