三角函数的图象与性质讲义-2024届高三数学一轮专题复习

4.5 三角函数的图象与性质 考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2 ]上,正切函数在上的性质. 知识梳理 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2 ]的图象中,五个关键点是:(0,0),, , ,(2 ,0). (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2 ]的图象中,五个关键点是:(0,1),, , ,(2 ,1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R 值域 周期性 奇偶性 奇函数 单调递增区间 单调递减区间 对称中心 对称轴方程 常用结论 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2.奇偶性 若f(x)=Asin( x+ )(A, ≠0),则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 =+k (k∈Z). (2)f(x)为奇函数的充要条件是 =k (k∈Z). 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“ ”) (1)y=cos x在第一、二象限内单调递减.( ) (2)若非零常数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.( ) (3)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2k +(k∈Z).( ) (4)函数y=tan x在整个定义域上是增函数.( ) 教材改编题 1.若函数y=2sin 2x-1的最小正周期为T,最大值为A,则( ) A.T= ,A=1 B.T=2 ,A=1 C.T= ,A=2 D.T=2 ,A=2 2.函数y=-tan的单调递减区间为_. 3.函数y=3-2cos的最大值为_,此时x=_. 题型一 三角函数的定义域和值域 例1 (1)函数y=的定义域为( ) A. B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.R (2)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为_. (3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为_. 听课记录:_ _ 思维升华 三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y=Asin( x+ )的形式求值域. (2)把sin x或cos x看作一个整体,转换成二次函数求值域. (3)利用sin x cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域. 跟踪训练1 (1)(2021 北京)函数f(x)=cos x-cos 2x,试判断函数的奇偶性及最大值( ) A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2 C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为 (2)函数y=lg sin x+的定义域为_. 题型二 三角函数的周期性与对称性 例2 (1)(2023 武汉模拟)已知函数f(x)=3sin,则下列说法正确的是( ) A.图象关于点对称 B.图象关于点对称 C.图象关于直线x=对称 D.图象关于直线x=对称 (2)函数f(x)=3sin+1, ∈(0, ),且f(x)为偶函数,则 =_,f(x)图象的对称中心为_. 听课记录:_ _ 思维升华 (1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin x或y=Atan x的形式,而偶函数一般可化为y=Acos x的形式. (2)周期的计算方法:利用函数y=Asin( x+ ),y=Acos( x+ )( >0)的周期为,函数y=Atan( x+ )( >0)的周期为求解. 跟踪训练2 (1)(2022 新高考全国 )记函数f(x)=sin+b( >0)的最小正周期为T.若<T< ,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则 f 等于( ) A.1 B. C. D.3 (2)(多选)(2023 苏州模拟)已知函数f(x)=sin,则下列结论正确的是( ) A.f(x)的最大值为 B.f(x)的最小正周期为 C.f 为奇函数 D.f(x)的图象关于直线x=对称 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间 例3 函数f(x)=sin的单调递减区间为_. 听课记录:_ _ 延伸探究 若函数不变,求在[0, ]上的单调递减区间. _ _ _ _ 命题点2 根据单调性求参数 例4 (1)(2022 淄博模拟)若函数f(x)=cos在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为( ) A. B. C. D. (2)(2023 晋中模拟)已知函数f(x)=sin x+cos x( >0),且在上单调递增,则满足条件的 的最大值为_. 听课记录:_ _ 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求